PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Dada la función:

    \( \displaystyle f(u)= \frac{1}{u^2+u-2} \)

Siendo:

    \( \displaystyle u = f(x) = \frac{1}{x-1} \)

Estudiar su continuidad en todo R.

Respuesta al ejercicio 63
La función podrá ser discontinua cuando se anula el denominador, es decir:

    \( u^2 + u - 2 = 0 \Rightarrow u_1 = - 2 \; ;\; u_2 = 1 \)

Podrá presentar discontinuidades en los puntos \( u_1 = - 2 \; ;\; u_2 = 1 \)
Por otro lado se tiene:

    \( \displaystyle u = \frac{1}{x-1} \)

La función \( u \) será discontinua en el punto \( x=1 \)
Por todo ello, la función \( f(u) \) Podrá presentar discontinuidades en los puntos en que se tenga:

    \( \displaystyle x=1 ; u = -2 = \frac{1}{x-1} \Rightarrow x = \frac{1}{2} ; u = 1 = \frac{1}{x-1}\Rightarrow x = 2 \)

Los analizamos a continuación:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{x \rightarrow 1^{-}} y = \lim_{u \rightarrow \infty} y = 0 \\
     \\
    \lim_{x \rightarrow 1^{+}} y = \lim_{u \rightarrow \infty} y = 0
    \end{array} \)

Los límites coinciden con el valor de la función, por lo tanto, no se tienen discontinuidades.

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{x \rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^+} y = \lim_{u \rightarrow -2^{+}} y = +\infty \\
     \\
    \lim_{x \rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^-} y = \lim_{u \rightarrow -2^{-}} y = -\infty
    \end{array} \)

Si tiene por tanto una discontinuidad de primera especie con salto infinito.

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{x \rightarrow 2^{-}} y = \lim_{u \rightarrow 1^{+}} y = +\infty \\
     \\
    \lim_{x \rightarrow 2^{+}} y = \lim_{u \rightarrow 1^{-}} y = -\infty
    \end{array} \)
Como en el anterior caso si tiene una discontinuidad de primera especie con salto infinito.
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Página publicada por: José Antonio Hervás