Ejercicios de continuidad de funciones
Probar que la función :
\(\displaystyle f(x) = x^2\)
no es uniformemente continua \(\forall x \in 0\)
Respuesta al ejercicio 29
Para que la función f(x) = x
2 sea uniformemente
contínua se ha de tener:
\(\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \; \alpha > 0 : \left\{
\begin{array}{l}
\forall x \\
\\
\forall x_o\\
\end{array}
\right. \qquad |x - x_o| < \alpha \Rightarrow |f(x) - f(x_o)| < \varepsilon
\)
Tomando como valores \(x_o\; y \; x= x_o + \frac{\delta}{2}\)
se tiene:
\( \displaystyle |x-x_o| = \left|x_o + \frac{\delta}{2}- x_o\right|=
\left| \frac{\delta}{2}\right| < \delta\)
Y por otro lado:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
|f(x)-f(x_o)| = \left| f\left(x_o + \frac{\delta}{2}\right)- f(x_o)\right| = \\
\\
= |x_o^2 + \frac{\delta}{4}+ x_o\delta - x_o^2| = x_o\delta + \frac{\delta}{4}
\end{array} \)
Expresión que se puede hacer tan grande como se quiera
con solo dar valores arbitrariamente grandes a xo
; por lo tanto la función no es uniformente contínua.