Ejercicios de continuidad de funciones

Determinar y clasificar las discontinuidades de las siguientes funciones :

\( \displaystyle\left\{
\begin{array}{l}
f(x) = e^{1/x}\quad \forall \, x \neq 0 \\
f(0) = 0 \\
\end{array}
\right. \qquad ; \quad f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x
\)

Respuesta al ejercicio 13

Para la primera función solo puede haber discontinuidad en el punto x = 0, pues en los demás casos 1/x tiene valor real. Se tiene, por tanto :

\( \displaystyle \begin{array}{l} f(0^+) = e^{+\infty} = +\infty \\ \\ f(0^+) = e^{-\infty} = 1/e^{+\infty} = 0 \end{array}\)

Con lo que se tiene una discontinuidad infinita de primera especie.

La segunda función:

\( \displaystyle f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right) \)

La podemos transformar como sigue:

\(
\displaystyle f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right) = a^{x·\lg_a(1+1/x)}\)

Dicha función no estará definido cuando se tenga el logaritmo de un número negativo , es decir en el intervalo[-1,0].

Según eso se tendrá que la función tiene como puntos de discontinuidad los puntos x=0 y x= -1 siendo una discontunuidad de segundo especie, para los dos puntos, pues no existe límite de la función en el punto -1 por la derecha ni en el punto 0 por la izquierda.