Ejercicios de continuidad de funciones

Determinar el dominio de las siguientes funciones:

\( \displaystyle (c)\; x \rightarrow y = 1/E(1/x) \; ; \; (d) \; x \rightarrow y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\)

Respuesta al ejercicio 2

Analizamos la función (c) :

\(\displaystyle (b)\qquad x \rightarrow y = \frac{1}{E(1/x)} \)

Esta función no estará definida si se anula el denominador; eso ocurrirá cuando se tenga :

\(\displaystyle x > 1 \Rightarrow \frac{1}{x} < 1 \Rightarrow E\left(\frac{1}{x}\right)= 0 \)

Por lo tanto, como también se anula cuando x toma el valor cero, el dominio de definición será \(E = (-\infty ,\:0)\cup (0,1]\)
Por ultimo, analizamos (d)

\(\displaystyle (b)\qquad x \rightarrow y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \)

La función no estará definida en los casos en que aparezca en la expresión anterior una raiz par de un número negativo; esto ocurrirá en los casos en que se tenga:

\(x \in \{y / -1 < y < 0 \) ; siendo \(y = \frac{a}{b}\) (fracción irreducible) donde b = 2n, siendo \(n \in N \}\)

Por lo tanto el conjunto de definición de la función será :

\( \mathbb{R} = \{x / -1 < x< 0 \) ; siendo \(x = \frac{a}{b}\) (fracción irreducible) donde b = 2n, siendo \(n \in N \}\)