Ejercicios de geometríaSea la ecuación de un elipsoide, dada en la forma:
\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+ \frac{z^2}{c^2}
= 1 \)
Determinar en que punto de su superficie forma ángulos
iguales con los ejes coordenados la normal
Respuesta al ejercicio 44
El punto que cumple la propiedad deseada tendrá de coordenadas
\(P_o(x_o, y_o,z_o)\). Vamos a determinar el gradiente de la función
en dicho punto.
\( \displaystyle F'_x = \frac{2x}{a^2}\Rightarrow F'_x(P_o)
= \frac{2x_o}{a^2}\; ; \; F'_y = \frac{2y}{b^2}\Rightarrow F'_y(P_o)
= \frac{2y_o}{b^2} \)
\( \displaystyle F'_z = \frac{2z}{c^2}\Rightarrow F'_z(P_o)
= \frac{2z_o}{c^2} \)
Las coordenadas del vector gradiente serán entonces:
\( \displaystyle grad \;F = \frac{2x_o}{a^2}\cdot\hat{i}+ \frac{2y_o}{b^2}\cdot\hat{j}+
\frac{2z_o}{c^2}\cdot\hat{k}\)
Y, por tanto, la ecuación de la normal al plano tangente
será:
\( \displaystyle \frac{x - x_o}{\frac{2x_o}{a^2}} = \frac{y-y_o}{
\frac{2y_o}{b^2}} = \frac{z-z_o}{\frac{2z_o}{c^2}}= \frac{x
- x_o}{\frac{x_o}{a^2}} = \frac{y-y_o}{ \frac{y_o}{b^2}} = \frac{z-z_o}{\frac{z_o}{c^2}}
\)
Podemos considerar entonces como vector director de la normal
el que tenga la forma:
\( \displaystyle \vec{V}= \left(\frac{x_o}{a^2}, \frac{y_o}{b^2}
, \frac{z_o}{c^2}\right)\)
Por otro lado, los vectores directores unitarios que definen los
ejes coordenados son:
\( \vec{v}_1 = (1; 0, 0) \; ; \; \vec{v}_2 = (0, 1, 0)\; ; \;
\vec{v}_3 = (0, 0, 1)\)
Para calcular el ángulo que forma la normal con cada uno
de los ejes, determinamos el ángulo que forman sus vectores
directores, lo que se puede hacer mediante el producto escalar.
\( \displaystyle\cos \alpha_1 = \frac{\vec{V}\cdot \vec{v}_1}{|\vec{V}|\cdot
|\vec{v}_1|} = \frac{\displaystyle\frac{x_o}{a^2}}
{\sqrt{\left(\frac{x_o}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{y_o}{b^2}\right)^2
+\left(\frac{z_o}{c^2}\right)^2}} \)
\( \displaystyle\cos \alpha_2 = \frac{\vec{V}\cdot \vec{v}_2}{|\vec{V}|\cdot
|\vec{v}_2|} = \frac{\displaystyle\frac{y_o}{a^2}} {\sqrt{\left(\frac{x_o}{a^2}\right)^2
+ \left(\frac{y_o}{b^2}\right)^2 +\left(\frac{z_o}{c^2}\right)^2}}
\)
\( \displaystyle\cos \alpha_3 = \frac{\vec{V}\cdot \vec{v}_3}{|\vec{V}|\cdot
|\vec{v}_3|} = \frac{\displaystyle\frac{z_o}{a^2}} {\sqrt{\left(\frac{x_o}{a^2}\right)^2
+ \left(\frac{y_o}{b^2}\right)^2 +\left(\frac{z_o}{c^2}\right)^2}}
\)
Como se ha de cumplir la condición de que los tres ángulos
sean iguales, podremos igualar las expresiones anteriores para
obtener finalmente:
\( \displaystyle \frac{x_o}{a^2} = \frac{y_o}{b^2} = \frac{z_o}{c^2}\)
Poniendo, por ejemplo, x0 e y0 en función
de z0, tenemos:
\( \displaystyle x_o = \frac{a^2}{c^2}\cdot z_o\; ; \;y_o =
\frac{b^2}{c^2}\cdot z_o \)
Y sustituyendo en la ecuación del elipsoide se tiene:
\( \displaystyle \frac{\left(\frac{a^2}{c^2}\cdot z_o\right)^2}{a^2}+ \frac{\left( \frac{b^2}{c^2}\cdot z_o\right)^2
}{b^2} + \frac{z_o^2}{c^2} = 1
\)
Que resolviendo nos da el valor:
\( \displaystyle z_o = \mp \frac{c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)
Sustituyendo en los valores de x0 e y0 nos
queda:
\( \displaystyle x_o = \mp \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\; ; \;y_o = \mp \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
PROBLEMAS
RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA
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