Ejercicios de geometría

Calcular la curvatura y la torsión de la curva:

\( \displaystyle x = u \; ; \; y = \frac{1+u}{u} \; ; \; z = \frac{1-u^2}{u} \)

Una vez calculadas la curvatura (K) y la torsión (T), interpretar el resultado.

Respuesta al ejercicio 41

Sabemos Sabemos que se tiene:

\( \displaystyle K = \frac{|x' \wedge x"|}{|x'|^3} \quad ; \quad T = \frac{[x' , x" , x^{\prime \prime \prime}] }{|x' \wedge x"|}\)

La función vectorial a estudiar tiene como derivadas respecto al parámetro u:

\( \displaystyle x' = \frac{dx}{du}= 1 \; ; \; y' = \frac{dy}{du} = - \frac{1}{u^2} \; ; \; z' = \frac{dz}{du} =- \frac{1+u^2}{u^2}\)

Y análogamente:

\( \displaystyle \begin{array}{l} x" = 0 \; ; \; y" = \frac{2}{u^3}\; ; \; z" = \frac{2}{u^3}\; ; \; x^{\prime \prime \prime} = 0 \\ \\ y^{\prime \prime \prime} = - \frac{6}{u^4} \; ; \; z^{\prime \prime \prime}= - \frac{6}{u^4} \end{array}\)

Con estos datos podemos calcular fácilmente la curvatura y la torsión. Para K tenemos:

\( \displaystyle\begin{array}{l} x' \wedge x" = \frac{2}{u^3}(e_1 - e_2 + e_3)\; ; \; |x' \wedge x"|^2 = \frac{12}{u^6} \\ \\ |x'|^2 = \frac{2}{u^4} (1 + u^2 + u^4) \end{array} \)

Y, por consiguiente:

\( \displaystyle \begin{array}{l}
K^2 = \frac{|x' \wedge x"|^2}{|x'|^6} = \frac{12/u^6)}{(8/u^{12})(1+u^2 +u^4)^3} = \\
\\
= \frac{3}{2}·\frac{u^6}{(1+u^2 +u^4)^3}
\end{array}\)

Para calcular la torsión tenemos:

\( \displaystyle [x', x" ,x^{\prime \prime \prime} ] = 0 \Rightarrow T = \frac{[x' , x" , x^{\prime \prime \prime}] }{|x' \wedge x"|} = 0 \)

Siendo el producto mixto nulo por tener linealmente independientes las dos últimas filas del determinante.
El hecho de ser T = 0 implica que la curva es plana, ya que se cumple:

\( T = 0 \Rightarrow - \dot{b}\cdot n = T = 0\rightarrow n\neq 0 \rightarrow \dot{b} = 0 \Rightarrow \vec{b} = Cte = b_o \)

Es fácil comprobar este hecho, ya que se tiene:

\( \displaystyle x-y+z = u - \frac{1+u}{u}+ \frac{1-u^2}{u} = -1\)