Ejercicios de geometría

Estudiar los puntos planos de la curva:

\( X = u· e_1 + v·e_2 + (u^3 + v^3 + u^4)·e_3 \)

Respuesta al ejercicio 38

Primero obtenemos la expresión L·N - M² :

\( X_u = e_1 + (3u^2 + 4u^3)e_3 \quad ; \quad X_v = e_2 + 3v^2·e_3 \)

Y a partir de ahí :

\( \displaystyle \begin{array}{l}
N = \frac{X_u \wedge X_v}{|X_u \wedge X_v|} = \frac{(3u^2 + 4u^3)e_1 + 3v^2e_2 + e_3}{\sqrt{(3u^2 + 4u^3)^2 + 9V^4 + 1}} \\
\\
X_{uu}= (6u + 12u^2)e_3 \; ; \; X_{uv}= 0 = X_{vu} \; ; \; X_{vv} = 6v·e_3 \\
\\
L = \frac{6u + 12u^2}{\sqrt{(3u^2 + 4u^3)^2 + 9V^4 + 1}}\; ; \; M = 0 \\ N = \frac{6v}{\sqrt{(3u^2 + 4u^3)^2 + 9V^4 + 1}}\\
\\
\\
L·N - M^2 = \frac{6v(6u + 12u^2)}{(3u^2 + 4u^3)^2 + 9V^4 + 1} = \\= \frac{36·uv(1 + 2u)}{(3u^2 + 4u^3)^2 + 9V^4 + 1}
\end{array} \)

Los puntos planos se tendrán cuando se anule la anterior expresión y además se tenga L = M = N = 0. De ese modo:

\( \displaystyle36·uv(1 + 2u) = 0 \Rightarrow v = 0 \; ; \; u = 0 \; ; \; u = -\frac{1}{2}\)

Y podemos escribir:

\( \displaystyle\begin{array}{l}
\delta = \frac{1}{6}dX^3·N = \frac{1}{6}[X_{uuu}·du^3 + 3·X_{uuv}·du^2dv + \\ +3·X_{uvv}·du·dv^2 + X_{vvv}·dv^3] \\
\\
X_{uuu} = (6 + 24u)e_3 \; ; \; X_{uuv} = 0 \; ; \; X_{uvv} = 0 \; ; \; X_{vvv} = 6·e_3 \end{array}\)

De donde resulta:

\( \displaystyle \delta = \frac{1}{\sqrt{(3u^2 + 4u^3)^2 + 9V^4 + 1}}[(1 + 4u)du^3 + dv^3]\)

Sustituyendo en esta expresión los valores u = 0 , v = 0 resulta:

\( \displaystyle \delta = du^3 + dv^3 = 0 \Rightarrow (du + dv)(du^2 - du·dv + dv^2)= 0 \)

Y será \(\delta = 0 \quad Si \quad (du + dv) = 0\), puesto que el otro polinonio no tiene raices reales. Podemos decir entonces que la expresión :

\( du + dv = 0 \Rightarrow du = - dv \Rightarrow u = -v + Cte \)

nos dice que hay una recta que corta a la superficie. El punto es el origen.