Ejercicios de geometría

Demostrar que los vectores tangentes a lo largo de la curva:

\( X = at·e_1 +bt^2·e_2 + t^3·e_3 \qquad \textrm{ siendo } \quad 2b^2 = 3a \)

forman un ángulo constante con el vector \( a = e_1 + e_3\)

Respuesta al ejercicio 1

La ecuación general de la tangente a una curva es:

\( y = X(t) + \lambda ·\dot{X}(t) \)

Y tenemos:

\( \dot{X}(t) = a·e_1 + 2b·t·e_2 + 3t^2·e_3 \)

Paea demostrar que el ángulo , \(\alpha\), de los vectores tangentes con el vector "a" es constante nos basta con demostrar que \(\cos \alpha\) es constante. Tenemos entonces:

\( \displaystyle\begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{(e_1 + e_3)(a·e_1 + 2b·e_33t^2·e_3)}{\sqrt{2}\sqrt{a^2 + 4b^2·t^2 + 9·t^4}} =(\textrm{ por ser } 2b^2 = 3a) = \\
\\
= \frac{a + 3·t^2}{\sqrt{2} \sqrt{(a + 3·t^2)^2}} =\frac{a + 3·t^2}{\sqrt{2}(a + 3·t^2)} = \frac{1}{\sqrt{2}}

\end{array} \)