Enunciado
11
demostrar que:
\(Z = 3·t^5 +10·t^3 + 15·t + 1 \)
Es un cambio admisible de parámetros, \(\forall \; t\)
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Enunciado 12
Demostrar que si todas las tangentes a una curva son de clase
\(\geq 2\), aquella es una curva plana.
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Enunciado 13
Hallar la curvatura y la torsión para la curva de ecuaciones
paramétricas:
\(x = u \quad ; \quad y = u^2 \quad ; \quad z = u^3 \)
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Enunciado 14
Calcular la curvatura y la torsión en cada uno de los puntos
de la curva:
\(X = (t - \sin t)e_1 +(1 - \cos t)e_2 + t·e_3 \)
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Enunciado 15
Demostrar la relación de equivalencia en el conjunto de
las representaciones regulares.
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Enunciado 16
Demostrar que la representación:
\(X_1 = 1 + \cos \theta \; ; \; X_2 = \sin \theta \; ; \; X_3
= 2·\sin \theta/2 \quad ; \; para \; -2\pi \leq \theta
\leq 2\pi \)
Es regular y está sobre la esfera de radio 2 y centro origen,
y sobre el cilindro:
\( (X_1 - 1)^2 + X_2^2 = 1 \)
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Enunciado 17
Demostrar que la curva:
\( X_1 = t^2 \quad ; \quad X_2 = \sin t \quad ; \quad con \;
0 \leq t \leq \pi/2 \)
Es rectificable.
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Enunciado 18
Estudiar la gráfica de la ecuación dada en polares:
\( r = 2·\cos \theta - 1 \quad ; \quad 0\leq \theta \leq
2·\pi \)
Dar su representación paramétrica regular y estudiar
la orientación para los cambios de parámetrico:
\( 1º) \; \theta = t+ 1 \; ; \; 2º)\; \theta = -t
\; ; \quad 3º)\; \theta =\left\{
\begin{array}{ll}
t & si\; 0\leq t \leq \pi/3 \\
-t+2 & si \; \pi/3 \leq t \leq 5\pi/3 \\
t & si \; 5\pi/3 \leq t \leq 2\pi \\
\end{array}
\right.
\)
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Enunciado 19
Demostrar que las ecuaciones:
\( \begin{array}{l}
X = t·e_1+ \sin t·e_2 + e^t·e_3 \quad para\quad
-\infty \leq t \leq \infty \\
\\
X^* = \ln \theta e_1 + \sin(\ln \theta)·e_2 + \theta·e_3
\quad para\quad -\infty \leq \theta \leq \infty
\end{array}\)
Representan la misma curva orientada.
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Enunciado 20
Calcular la curvatura de la circunferencia de radio a > 0 dada
por las ecuaciones:
\( X_1 = a·\cos t \quad ;\quad X_2 = a·\sin t
\)
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