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ejercicios de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Calcular la integral:

    \(\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\log xdx}{x^4+1} \)

Aplicando la teoria de variable compleja.

- Respuesta 59

El método general para este tipo de integrales es estudiar la función de variable compleja:

    \(\displaystyle \frac{(\log z)^2}{(z^4+1)} \)

con lo que tendremos:

    \(\displaystyle \int_\gamma \frac{(\log z)^2}{(z^4+1)}dz = 2\pi i\sum_{z\neq 0}Res \left[\frac{(\log z)^2}{(z^4+1)}\;,\; z_k\right] \)

Y las raíces del denominador son

    \(z^4+1 = 0 \;; \; s^2+1 = 0 \;; \; s = \pm i \Rightarrow z = \pm \sqrt{i}\;; \; z = \pm \sqrt{-i} \)


En general, para obtener las raíces de \(z^a\), con \(a=1/n\) tenemos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} z^a = e^{a\log z} = e^{(1/n)(\log |z|+ i\arg z)} = |z|^{1/n}e^{i(\arg z/n)} = \\  \\ = |z|^{1/n}e^{i[(\arg z + 2\pik)/n]} \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \frac{\arg z + 2\pi k}{n} + i\sin \frac{\arg z + 2\pi k}{n} \right) \end{array}\)


Y esto nos da en nuestro caso:

    \(\displaystyle \sqrt{i} = e^{i(\pi/4)}\;; \;-\sqrt{i} = e^{i(3\pi/4)}\;; \; \sqrt{-i} = e^{i(5\pi/4)}\;; \; -\sqrt{-i} = e^{i(7\pi/4)} \)

Por lo que, considerando que los polos son todos simple, tendemos para los residuos :

    \(\displaystyle Res \left[\frac{(\log z)^2}{(z^4+1)}\;,\; z_k\right]= \lim_{z\rightarrow z_k}[f(z)·(z-z_k)] = \frac{(\log z_k)^2}{4z_k^3}= - \frac{(\log z_k)^2}{4}z_k \)

El último paso se explica cómo sigue (por ejemplo, para )

    \(\displaystyle z_k = \sqrt{i} = e^{i(\pi/4)}\)

tenemos:

    \(\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{i})^3} = \frac{1}{i\sqrt{i}} = - \frac{i}{\sqrt{i}} = - \sqrt{i} \equiv -z_k\)

Sustituyendo cada \(z_k\) en la expresión obtenida y llevando a la integral, tenemos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \int_{0}^{\infty}\frac{\log xdx}{x^4+1} = \frac{1}{2}Re \left\{2\pii \left[\frac{1}{4}\frac{\pi^2}{16}e^{i(\pi/4)}- \frac{1}{4}\frac{9\pi^2}{16}e^{i(3 \pi/4)}+ \right.\right. \\  \\ \qquad \qquad +\left.\left.\frac{1}{4}\frac{25\pi^2}{16}e^{i(5\pi/4)}- \frac{1}{4}\frac{49\pi^2}{16}e^{i(7 \pi/4)} \right]\right\} = \\  \\ = \frac{\pi^3}{64}Re\left[i \left(e^{i(\pi/4)}- 9e^{i(3\pi/4)} + 25e^{i(5\pi/4)} - 49e^{i(7\pi/4)} \right)\right] = \\  \\ = \frac{\pi^3}{64}\left(- \sin \frac{\pi}{4} + 9\sin \frac{3\pi}{4} - 25 \sin \frac{5\pi}{4} + 49\sin \frac{7\pi}{4}\right) \\  \end{array} \)

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Página publicada por: Jos Antonio Hervs