PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Calcular la integral:

    \(\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{x\sin ax}{(x^2+K^2)^2}\quad;\quad a>0\; ;\; K>0 \)

Aplicando la teoria de variable compleja.

- Respuesta 58

La función integrando es par, y podemos tomar para la integral el valor:

    \(\displaystyle I =\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin ax}{(x^2+K^2)^2}·dx \)

Pasando ahora a variable compleja :

    \(\displaystyle \begin{array}{l} F(z) = \frac{ze^{iaz}}{(x^2+K^2)^2}=f(z)e^{iaz} \\  \\ con \lim _{R \rightarrow \infty}\;R|f(Re^{i \theta})|= \lim _{R \rightarrow \infty}\frac{RRe^{i \theta}}{(R^2e^{i 2 \theta}+R^2)^2}= 0 \end{array} \)

Por lo que la integral a estudiar será :

    \(\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{x\sin ax}{(x^2+K^2)^2}=\frac{1}{2}·Im \int_\gamma\frac{ze^{i a z}}{(z^2+K^2)^2}·dz \)

Con:

    \( e^{i a z} = \cos az + i\sin az \)

Operando tenemos :

    \(\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{ze^{i a z}}{(z^2+K^2)^2}·dz= 2 \pi·i\sum_{\sup}Res[f(z)·e^{iaz}] \)

Siendo :

    \(\displaystyle \begin{array}{l} Res[f(z)e^{iaz}] =\lim_{z \rightarrow a_i}\frac{d}{dz}\left(\frac{z^2·e^{iaz}}{(z^2+K^2)^2}(z-Ki)^2\right)= \\  \\ = \lim_{z \rightarrow a_i}\frac{d}{dz}\left(\frac{z^2e^{iaz}}{(z+Ki)^2}\right)=\lim_{z \rightarrow a_i}\frac{(iK + ia·z^2 - Ka·z-z)e^{i a z}}{(z+iK)^2}=\\  \\= \frac{-2iaK^2e^{-aK}}{-8K^3i}= \frac{ae^{-aK}}{4K} \end{array} \)

Y sustituyendo en la expresión de I:

    \(\displaystyle I = \frac{1}{2}\Im \left(2 \pii\frac{ae^{-aK}}{4K}\right) = \frac{\pi ae^{-a z}}{4K} \)
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Página publicada por: Jos Antonio Hervs