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ejercicios de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Calcular la integral:

    \(\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{(x^2+a^2)^2}\quad;\quad a>0 \)

Aplicando la teoria de variable compleja.

- Respuesta 57

Pasamos de f(x) a f(z) es decir

    \(\displaystyle f(x)= \frac{x^{2}}{(x^2+a^2)^2} \Rightarrow f(z)= \frac{z^{2}}{(z^2+a^2)^2} \)

podemos considerar un circuito para el que sepamos calcular las integrales. En este caso concreto al ser la función f(x) par podemos escribir :

    \(\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{(x^2+a^2)^2}·dx= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{(x^2+a^2)^2}·dx \)

Y tenemos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \lim _{R \rightarrow \infty}\;R|f(R·e^{i \theta})|= \lim _{R \rightarrow \infty}\;\frac{R^3·e^{i 2\theta}}{(R^2·e^{i 2\theta}+a^2)^2}\leq \\
     \\
    \leq \frac{R^3}{(R^2+a^2)^2}\rightarrow 0 ,si\;R\rightarrow\infty
    \end{array} \)

Los puntos en los que la función f(z) no es analítica resultan de:

    \((z^2+a^2)^2 = 0 \Rightarrow z^2+a^2 = 0 \Rightarrow z= \pm aˇi\quad (doble) \)

En los que la integral será entonces :

    \(\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{(x^2+a^2)^2}dx= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{(x^2+a^2)^2}dx= \frac{1}{2}2\pi·i[Res(f,a_i)] \)

Y (punto en el semiplano superior) vale:

    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    Res(f,a_i)=\lim_{z \rightarrow a_i}\frac{d}{dz}\left(\frac{z^2}{(z^2+a^2)^2}(z-a·i)^2\right)= \\
     \\
    = \lim_{z \rightarrow a_i}\frac{d}{dz}\left(\frac{z^2}{(z+a·i)^2}\right)= \lim_{z \rightarrow a_i}\frac{2·ai·z}{(z+a·i)^3}=\frac{1}{4ai}
    \end{array}\)

Con lo que finalmente resulta

    \(\displaystyle \int_{0}^{\infty}f(x)dx =\frac{1}{2}ˇ2\piˇi\left(\frac{1}{4aˇi}\right)=\frac{\pi}{4ˇa} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás