PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Resolver la integral:

    \(\displaystyle \oint_{|z|=2}\frac{\cosh z}{(z+1)^3(z-1)}·dz \)
- Respuesta 54

En primer lugar, descomponemos el denominador del integrando en fracciones simples:

    \(\displaystyle \frac{1}{(z+1)^3(z-1)}= \frac{1}{8}·\frac{1}{z-1} - \frac{1}{8}·\frac{1}{z+1} - \frac{1}{4}·\frac{1}{(z+1)^2} - \frac{1}{2}·\frac{1}{(z+1)^3} \)

Para los dos primeros términos aplicamos la fórmula de Cauchi simple, es decir:

    \(\displaystyle \frac{1}{8}\oint_{|z|=2}\left(\frac{1}{z-1} - \frac{1}{z+1}\right)\cosh z·dz = \frac{2\pi i}{8}\left\{|\cosh z|_1 - |\cosh z|_{-1}\right\} = 0 \)

Para los otros términos aplicamos la segunda fórmula integral, dada por:

    \(\displaystyle \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)dz}{(z-z_o)^{n+1}} =\left\{ \begin{array}{l} f^n(z_o)\; si \; z_o \in I(C) \\ 0\; si \; z_o \in E(C) \\ \end{array} \right. \)

Tenemos así:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} - \frac{1}{4}\oint_{|z-2|}\frac{\cosh z·dz}{(z+1)^2} - \frac{1}{2}\oint_{|z-2|}\frac{\cosh z·dz}{(z+1)}^3 = \\ = - 2\pi i \left[\left(\frac{1}{4}\right)\left[\cosh z\right]'_{z=-1} - \left(\frac{1}{4}\right)\left[\frac{\cosh z}{2!}\right]''_{z=-1}\right]= \\ = \frac{\pi i}{2}(\sinh 1 - \cosh 1) \end{array} \)

Pero teniendo en cuenta que se cumple:

    \(\displaystyle\sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}\;; \; \cosh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}\Rightarrow \sinh 1 - \cosh 1 =- \frac{1}{e} \)

podemos simplificar la anterior expresión:

    \(\displaystyle \oint_{|z|=2}\frac{\cosh z}{(z+1)^3(z-1)}·dz= - \frac{\pi i}{2e} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
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Página publicada por: José Antonio Hervás