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ejercicios de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Calcular las integrales:

    \(\displaystyle \oint_{|z|=2}\frac{\cosh iz}{(z+1)(z+3)}dz\quad ; \quad \oint_C \frac{e^z}{z^2-6z}dz \)

esta última para los casos:

    \(C \::\: |z-2|= 1 \;; \; C\: :\: |z-2|= 3 \; ; \; C \::\: |z-2| = 5 \)
- Respuesta 52

Para la primera integral podemos escribir:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_{|z|=2}\frac{\cosh iz}{(z+1)(z+3)}dz = \oint_{|z|=2}\frac{\cosh iz/(z+3)}{(z+1)}dz = \\  \\ = 2\pi i \left[\frac{\cosh iz}{z+3}\right]_{z=-1} = 2\pi i\frac{\cosh (-i)}{2} = \pi i\cosh (i) = \pi i \cos 1 \end{array} \)

El denominador de la segunda integral tiene como raices 0 y 6, por lo que ninguno de estos dos puntos están contenidos en el círculo \(|z-2|=1\). Así pues, para este caso, la integral será nula.

Para el segundo caso, de la integral dos podemos hacer:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_{|z-2|= 3}\frac{e^zdz}{z(z-6)} = \oint \frac{e^z/(z-6)}{z}dz = 2 \pi i \left[\frac{e^z}{z-6}\right]_{z=0} = \\  \\ = 2\pi i \left(- \frac{1}{6}\right) = - \frac{\pi i}{3} \end{array} \)

Finalmente, para el caso de \(|z-2|=5\) descomponemos en fracciones simples:

    \(\displaystyle \oint_{|z-2|= 5}\frac{e^zdz}{z(z-6)} =\frac{1}{6}\oint \left(\frac{1}{z-6} - \frac{1}{z}\right)e^z dz = \frac{\pi i}{3}(e^{36}-1) \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás