Ejercicios de cálculo en variable
Compleja
Resolver las siguientes ecuaciones en el campo de los números
complejos:
\(x^2 = -1 \quad ; \quad x^3 = i\, \)
- Respuesta 9
Por el teorema fundamental del álgebra, sabemos que toda
ecuación algebraica de grado n tiene n soluciones.
Los números complejos de la forma:
\( \begin{array}{l} \sqrt[n]{|a|}\left[\cos \psi (r) + i\, ˇ
\sin \psi (r)\right] \\ \\ \quad \quad \psi(r) = \displaystyle
\frac{\theta}{n} + 2 \pi \frac{r}{n} \; con \; r = 0, 1, ˇˇˇ,
n-1 \end{array} \)
Son distintos dos a dos y forman las n soluciones de la ecuación
\( x^n = a \). De ese modo, para los ejemplos a resolver tendremos,
en primer lugar:
\( x^2 = -1 \rightarrow |x(r)|^2 = 1 \quad ; \quad \psi(r) =
\displaystyle \frac{\pi}{2} + 2 \pi \frac{r}{n} \; con \;r =
0, 1 \)
Y sustituyendo valores:
\( |x(0)| = |x(1)| = 1 \quad ; \quad \psi(0) = \displaystyle
\frac{\pi}{2} \; ; \; \psi(1) = \frac{3 \pi}{2}\)
O lo que es igual:
\(x(0) = \displaystyle \cos \frac{\pi}{2} + i\, ˇ \sin \frac{\pi}{2}
= i\, \quad ; \quad x(1) = \cos \frac{3 \pi}{2} + i\, ˇ \sin
\frac{3 \pi}{2} = - i\, \)
y para el segundo ejemplo:
\( x^3 = i\, \rightarrow |x(r)|^3 = 1 \quad ; \quad \psi(r)
= \displaystyle \frac{\pi}{6} + 2 \pi \frac{r}{3} \; con \;
r = 0, 1, 2\)
Y tomando valores numéricos:
\( |x(0)| = |x(1)| = |x(2)| = 1 \quad ; \quad \displaystyle
\psi(0) = \frac{\pi}{6} \; ; \; \psi(1) = \frac{5 \pi}{6} \;
; \; \psi(2) = \frac{9 \pi}{6}\)
Y finalmente:
\( \displaystyle \begin{array}{l} x(0) = \cos \frac{\pi}{6}
+ i\, ˇ \sin \frac{\pi}{6} \; ; \\ \\ x(1) = \cos \frac{5
\pi}{6} + i\, ˇ \sin \frac{5 \pi}{6} \; ; \; x(2) = \cos \frac{9
\pi}{6} + i\, ˇ \sin \frac{9 \pi}{6} \end{array} \)
O equivalentemente
\(x(0) = \displaystyle + \frac{\sqrt{3}}{2} + i\, ˇ \frac{1}{2}
\quad ; \quad x(1) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + i\, ˇ \frac{1}{2}
\quad ; \quad x(2) = - i\, \)
EJERCICIOS
RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA |
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