PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

Dos moles del mismo gas ideal se encuentran a temperaturas T y ocupa unos volúmenes \( V_1 \;y\; V_2 \). Las paredes exteriores son adiabáticas y los gases se encuentran separados entre sí por una pared diatérmana. Calcular el trabajo máximo que se puede obtener del sistema considerando qué \( C_P \) es constante.

- Respuesta al ejercicio 81

El trabajo máximo que tendrá en un proceso reversible, es decir, cuando el cambio de entropía sea nulo:

    \( \displaystyle \triangle S = 0 \Rightarrow S = S(V,T) \Rightarrow dS = \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T dV +\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V dT \)
Y aplicando las relaciones de Maxwell:
    \( \displaystyle dS = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V dV + \left(\frac{C_v}{T}\right)dT = \left(\frac{R}{V}\right) dV + \left(\frac{C_v}{T}\right)dT
    \)
Puesto que, al ser un gas ideal:
    \( \displaystyle\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{R·T}{V}\right)= \frac{R}{V} \)
Integrando la expresión obtenida:
    \( \displaystyle\triangle S = R·\ln \left(\frac{V_f}{V_i}\right) + C_v·\ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right) = 0 \)
A partir de aquí, podemos plantear:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \triangle S = \triangle S_1 + \triangle S_2 = R·\ln \left(\frac{V_{1f}}{V_{1i}}\right) + C_v·\ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right) + \\
    \\
    +R·\ln \left(\frac{V_{2f}}{V_{2i}}\right) + C_v·\ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right) = 2C_v·\ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right) + \\
     \\
    =R \left[\ln \left(\frac{V_{1f}}{V_{1i}}\right) + \ln \left(\frac{V_{2f}}{V_{2i}}\right) \right] = \\
     \\
    = 2C_v·\ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right) + R·\ln \frac{V_{1f}V_{2f}}{V_{1i}V_{2i}} = 0
    \end{array} \)
De esta expresión podemos obtener el valor de \( T_f \) cómo sigue:
    \( \displaystyle\ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right) = - \frac{R}{2C_v}· \ln \frac{V_{1f}V_{2f}}{V_{1i}V_{2i}} \Rightarrow \frac{T_f}{T_i} = \left(\frac{V_{1f}V_{2f}}{V_{1i}V_{2i}}\right)^{- \frac{R}{2C_v}} \)
Pero tenemos que se cumple:
    \( \displaystyle V_{1f} = V_{2f} = \frac{V_{1i}+ V_{2i}}{2} \)
Y sustituyendo este valor en la expresión anterior:
    \( \displaystyle T_f = T_i\left[\frac{(V_1 + V_2)^2}{4·V_1V_2}\right]^{- \frac{R}{2C_v}} = T_i\left[\frac{(V_1 + V_2)^2}{4·V_1V_2}\right]^{\frac{1}{2}(1-\gamma)}
    \)
Puesto que podemos poner:
    \( \displaystyle\left.
    \begin{array}{c}
    C_p - C_v = R \\
     \\
    C_p = \gamma ·C_v \\
    \end{array}
    \right\} \gamma ·C_v - C_v = R \;;\;C_v(\gamma - 1) = R \)

Y a partir de ahí :

    \( \displaystyle - \frac{R}{2C_v} = - \frac{1}{2}(1-\gamma) \)

Para calcular ahora el trabajo máximo teniendo en cuenta que el proceso es adiabático:

    \( \begin{array}{l}
    W_\max = - (\triangle U_1 + \triangle U_2) = \\
     \\
    = - \left[C_v(T_{1f}- T_{1i}) + C-v(T_{2f}- T_{2i})\right] = -2C_v(T_f- T_i)
    \end{array} \)
Y recordando el valor de \( T_f \) :
    \( \displaystyle W_\max = -2·C_v·T_i \left[\left(\frac{(V_1 + V_2)^2}{4·V_1V_2}\right)^{\frac{1}{2}(1-\gamma)} - 1\right]
    \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás