Ejercicios de termodinámica
Dos moles del mismo gas ideal se encuentran a temperaturas T y ocupa
unos volúmenes \( V_1 \;y\; V_2 \). Las paredes exteriores
son adiabáticas y los gases se encuentran separados entre sí
por una pared diatérmana. Calcular el trabajo máximo
que se puede obtener del sistema considerando qué \(
C_P \) es constante.
- Respuesta al ejercicio 81
El trabajo máximo que tendrá en un proceso reversible, es decir,
cuando el cambio de entropía sea nulo:
\( \displaystyle \triangle S = 0 \Rightarrow S = S(V,T) \Rightarrow
dS = \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T dV +\left(\frac{\partial
S}{\partial T}\right)_V dT \)
Y aplicando las relaciones de Maxwell:
\( \displaystyle dS = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V
dV + \left(\frac{C_v}{T}\right)dT = \left(\frac{R}{V}\right)
dV + \left(\frac{C_v}{T}\right)dT
\)
Puesto que, al ser un gas ideal:
\( \displaystyle\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V
= \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{R·T}{V}\right)=
\frac{R}{V} \)
Integrando la expresión obtenida:
\( \displaystyle\triangle S = R·\ln \left(\frac{V_f}{V_i}\right)
+ C_v·\ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right) = 0 \)
A partir de aquí, podemos plantear:
\( \displaystyle\begin{array}{l}
\triangle S = \triangle S_1 + \triangle S_2 = R·\ln \left(\frac{V_{1f}}{V_{1i}}\right)
+ C_v·\ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right) + \\
\\
+R·\ln \left(\frac{V_{2f}}{V_{2i}}\right) + C_v·\ln
\left(\frac{T_f}{T_i}\right) = 2C_v·\ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right)
+ \\
\\
=R \left[\ln \left(\frac{V_{1f}}{V_{1i}}\right) + \ln \left(\frac{V_{2f}}{V_{2i}}\right)
\right] = \\
\\
= 2C_v·\ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right) + R·\ln
\frac{V_{1f}V_{2f}}{V_{1i}V_{2i}} = 0
\end{array} \)
De esta expresión podemos obtener el valor de \( T_f \)
cómo sigue:
\( \displaystyle\ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right) = - \frac{R}{2C_v}·
\ln \frac{V_{1f}V_{2f}}{V_{1i}V_{2i}} \Rightarrow \frac{T_f}{T_i}
= \left(\frac{V_{1f}V_{2f}}{V_{1i}V_{2i}}\right)^{- \frac{R}{2C_v}}
\)
Pero tenemos que se cumple:
\( \displaystyle V_{1f} = V_{2f} = \frac{V_{1i}+ V_{2i}}{2}
\)
Y sustituyendo este valor en la expresión anterior:
\( \displaystyle T_f = T_i\left[\frac{(V_1 + V_2)^2}{4·V_1V_2}\right]^{-
\frac{R}{2C_v}} = T_i\left[\frac{(V_1 + V_2)^2}{4·V_1V_2}\right]^{\frac{1}{2}(1-\gamma)}
\)
Puesto que podemos poner:
\( \displaystyle\left.
\begin{array}{c}
C_p - C_v = R \\
\\
C_p = \gamma ·C_v \\
\end{array}
\right\} \gamma ·C_v - C_v = R \;;\;C_v(\gamma - 1) =
R \)
Y a partir de ahí :
\( \displaystyle - \frac{R}{2C_v} = - \frac{1}{2}(1-\gamma)
\)
Para calcular ahora el trabajo máximo teniendo en cuenta que
el proceso es adiabático:
\( \begin{array}{l}
W_\max = - (\triangle U_1 + \triangle U_2) = \\
\\
= - \left[C_v(T_{1f}- T_{1i}) + C-v(T_{2f}- T_{2i})\right] =
-2C_v(T_f- T_i)
\end{array} \)
Y recordando el valor de \( T_f \) :
\( \displaystyle W_\max = -2·C_v·T_i \left[\left(\frac{(V_1
+ V_2)^2}{4·V_1V_2}\right)^{\frac{1}{2}(1-\gamma)} -
1\right]
\)