Ejercicios de termodinámica
Consideremos el ciclo de Mayer. Supuesto el ciclo recorrido
por un gas ideal demostrar la relación de Mayer. Para ello,
consideremos las hipótesis:
- Respuesta al ejercicio 72
Puesto que el ciclo es cerrado y no hay pérdida de energía,
tenemos:
\( (U_2 - U_1) + (U_3 - U_2) + (U_1 - U_3) = 0 \Rightarrow \triangle
U = 0 \)
Y para cada sumando tenemos:
Puesto que en una expansión libre, cuando el gas que se expande
es perfecto, no hay variación de energía interna y, por tanto,
cómo se tiene U = U(T) , el proceso será isotermo.
\(\begin{array}{l}
(U_3 - U_2) = Q_{23} + W_{23} = C_p(T_3 - T_2) - P_2(V_3-V_2)
\\
\\
(U_1 - U_3) = Q_{31} + W_{31} = C_v(T_1 - T_3)
\end{array} \)
El trabajo de este último caso es nulo por no haber variación
de volumen. Sustituyendo los valores obtenidos nos queda:
\( C_p(T_3 - T_2) + P_2(V_3 - V_2) + C_v(T_1 - T_3) = 0\qquad
(1) \)
Consideremos ahora:
\( \begin{array}{l}
P_2V_2 = R·T_2 \\
\\
P_3V_3 = R·T_3 \\
\\
P_1V_1 = R·T_1
\end{array} \Rightarrow \left|
\begin{array}{l}
V_3 = V_1 \\
\\
P_3 = P_2 \\
\end{array}
\right|\Rightarrow P_2(V_3 - V_2) = R(T_3 - T_2) \)
Sustituyendo en (1)
\( C_p(T_3 - T_2) - R(T_3 - T_2) - C_v(T_1 - T_3) = 0\)
Pero como el proceso de 1 a 2 es isotermo, se tendrá \( T_1 =
T_2 \) y, por tanto:
\( C_p(T_3 - T_1) - R(T_3 - T_1) - C_v(T_3 - T_1) \Rightarrow
C_p - C_v = R\)