PROBLEMAS RESUELTOS
DE AUTOMÁTICA
ejercicios de regulación y control
diagramas de flujo
funciones de transferencia

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Ejercicios de automática

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diagrama de bloques
Calcular la transmitancia del diagrama de flujo:
    i) por el método de Mason.

    ii) Por el método directo
y comprobar la aquivalencia de ambos métodos.

    Ejercicios de automática. Respuesta 32

Por la observación de diagramas semejantes al del enunciado, entendemos que la transmitancia de \(i_1 \textrm{ a } V_2\) debe ser R.Teniendo en cuenta esa consideración, las trayectorias directas con sus transmitancia serán:
    \( \displaystyle M_1 = \frac{1}{R_1}·R_3·\frac{1}{R_2}·R_4 \quad ; \quad M_2 = \frac{1}{R_1}·\alpha·R_4 \)
Las transmitancias de los lazos correspondientes:
    \( \displaystyle L_{11} = - \frac{R_3}{R_1}\; ; \; L_{21} = - \frac{R_3}{R_2}\; ; \; L_{31} = - \frac{R_4}{R_2}\; ; \; L_{41} = \alpha· \frac{R_3}{R_1} \)
De este conjunto tenemos dos lazos disjuntos que nos dan:
    \( \displaystyle L_{12} = L_{11}·L_{31}= \left(- \frac{R_3}{R_1}\right)· \left(- \frac{R_4}{R_2}\right)= \frac{R_3·R_4}{R_1R_2} \)
Puesto que no existen tres o más lazos disjuntos tendremos:
    \( \displaystyle \triangle = 1 + \frac{R_3}{R_1} + \frac{R_3}{R_2} + \frac{R_4}{R_2} - \alpha·\frac{R_3}{R_1} + \frac{R_3R_4}{R_1R_2} \)
Por otro lado, todos los lazos tocan a las trayectorias directas, con lo que tendremos:
    \( \triangle_1 = 1 \; ; \; \triangle_2 = 1 \)
Y de ahí que la transmitancia total será:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    M = \frac{M_1\triangle_1 + M_2\triangle_2}{\triangle} = \\
    = \frac{R_3R_4 + \alpha R_4R_2}{R_1R_2 + R_2R_3 + R_1R_3 + R_1R_4 + \alpha R_2R_3 + R_3R_4 }
    \end{array} \)
Para obtener la transmitancia por el método directo, partimos del diagrama original y eliminamos el nodo \(V_2\), con lo que nos queda:
diagrama de bloques
Seguidamente eliminamos el autolazo de \(i_1\) y sumamos las dos ramas \(i_1 \textrm{ a } i_2\) con lo que nos queda:
diagrama de bloques

A continuación elinamos el autolazo de \( i_2\)
diagrama de bloques

El siguiente paso es eliminar el nodo \( i_1\) para obtener:

diagrama de bloques

Quitando ahora el autolazo de \( i_2\) obtenemos el diagrama que representamos a continuación:

diagrama de bloques

Finalmente, la eliminación del nodo \( i_2\) y del autolazo que se forma en \(V_3\) nos lleva al resultado final:
diagrama de bloques

:
    \( \displaystyle \frac{(\alpha R_2 + R_3)R_4}{(R_1+R_3)(R_2+R_3) - R_3(\alpha R_2+R_3)+(R_1+R_3)R_4} \)


y este resultado coincide, evidentemente, con el obtenido por el método de Mason.
EJERCICIOS RESUELTOS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICO PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
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Página publicada por: José Antonio Hervás