Sea el sistema de control esquematizado en la figura adjunta.



Determinar su estabilidad cuando T valga 0,5 segundos.

Ejercicios de automática. Respuesta 30

A partir de la función de transferencia en lazo abierto, en notación de Laplace, obtenemos la expresión:

\( \displaystyle G(s) = \frac{s-2}{s(s+2)} \Rightarrow G(z) = \frac{-(2 - e^{2T})z}{(z-1)(z+e^{2T})} \)

Donde hemos aplicado la fórmula de los residuos, por ser G(s) una función racional que se anula para s tendiendo a infinito.:

\( \displaystyle G(z) = \sum\left[Res \frac{X(s)z}{(z - e^{Ts})}en \;los\; polos\; de\; X(s)\right] \)

Obtenida la función de transferencia pulsada del sistema en lazo abierto, su ecuación característica será:

\( (z-1)(z - e^{-2T}) - (2 - e^{-2T})z = 0 \Rightarrow z^2 - 3z + - e^{-2T} = 0 \)

Para determinar si el sistema es inestable en las condiciones dadas, aplicamos el criterio de Ruth. Para ello consideramos antes la transformación bilineal:

\( \displaystyle z = \frac{r+1}{r-1} \)

Que transforma las regiones \(|z|<1 \; ; \; |z|= 0\; y \; |z|>1 \) del plano Z en la regiones \(\Re|r|<1 \; ; \; \Re|r|= 0\; y \; \Re|r|>1 \) del plano r, respectivamente, y nos permite aplicar el criterio en la forma ya conocida de los sistemas continuos.:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \left(\frac{r+1}{r-1}\right)^2 - 3 \left(\frac{r+1}{r-1}\right) + e^{-1} = 0\; ; \\  \\ (e^{-1} - 2)r^2 + 2(1 - e^{-1} ) + (4 + e^{-1} ) = 0 \end{array}\)

El algoritmo de Routh – Hurwitz nos permite escribir:

\( \begin{array}{l} r^2 \\ \\ r^1 \\ \\ r^0 \end{array}\left| \begin{array}{cc} (e^{-1} - 2) & (4 + e^{-1}) \\ \\ 2(1 - e^{-1}) & 0 \\ \\ (4 + e^{-1}) & 0 \\ \end{array} \right. \)

Y puesto que no todos los coeficientes de la primera columna de la tabla tienen el mismo signo, podemos decir que el sistema no es estable