Encontrar la respuesta c(k) del sistema, inicialmente en reposo, descrito por la ecuación en diferencias:

\( c(k+2) + 3c(k+1) + 2c(k) = r(k+2) + r(k+1) + r(k)\)

Cuando se le excita con una entrada escalón unidad.

Ejercicios de automática. Respuesta 26

La respuesta del sistema vendrá dada por la transformada z-inversa de la función de transferencia pulsada del sistema, multiplicada por la transformada de la señal excitadora.

Para obtener la función de transferencia pulsada tomamos transformadas en z para la ecuación en diferencias que describe al sistema, considerando condiciones iniciales nulas:

\( z^2·C(z) + 3z·C(z) + 2·C(z) = z^2·R(z) + z·R(z) + R(z)\)

De ese modo, la función de transferencia pulsada del sistema es:

\( \displaystyle \frac{C(z)}{R(z)} = \frac{z^2 + z + 1}{z^2 + 3z + 2 } = \frac{z^2 + z + 1}{(z+2)(z+1) } \)

Y la respuesta del sistema a la entrada escalón será:

\( \displaystyle \begin{array}{l} z^{-1}\left\{\frac{z^2 + z + 1}{(z+2)(z+1)}·\frac{z}{z-1}\right\} = \\  \\ = z^{-1}\left\{\frac{z}{z+2}+ \frac{1}{2}·\frac{z}{z-1} + \frac{1}{2}·\frac{z}{z+1} \right\} \end{array} \)

Donde el desarrollo en fracciones simples lo hemos hecho para la función F(z)/z. Como la transformada en z es lineal, nos quedará finalmente:

\( \displaystyle C(k) = (-2)^k + \frac{1}{2}- \frac{1}{2}(-1)^k = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(2^{k+1}-1)\cos k \)