Ejercicios de automática. Respuesta
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Para la realización directa podemos tomar, por ejemplo:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
G(s) = \frac{2(s+3)}{(s+1)(s+2)} = \\
\\
= \frac{2}{s+1}\times\frac{1}{(s+2)}\times (s+3) = \frac{\hat{X}_1(s)}{\hat{U}(s)}\times \frac{\hat{X}_2(s)}{\hat{X}_1(s)}\times \frac{\hat{Y}(s)}{\hat{X}_2(s)}
\end{array}\)
Y a partir de ahí:
\( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{1}{(s+1)} = \frac{\hat{X}_1(s)}{\hat{U}(s)}
\Rightarrow 2ˇ\hat{U}(s)= (s+1)\hat{X}_1(s)\Rightarrow \dot{x}_1
= -x_1 + 2u \\ \\ \frac{1}{(s+2)} = \frac{\hat{X}_2(s)}{\hat{X}_1(s)}\Rightarrow
\hat{X}_1(s)= (s+2)\hat{X}_2(s)\Rightarrow \dot{x}_2 = x_1 -
2x_2 \\ \\ (s+3) = \frac{\hat{Y}(s)}{\hat{X}_2(s)} \Rightarrow
\hat{Y}(s)= (s+3)\hat{X}_2(s)\Rightarrow y = \dot{x}_2 + 3x_2
= x_1 + x_2 \end{array} \)
Con lo que tendremos:
\( \displaystyle \begin{array}{c} \vec{\dot{x}}= \left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\ 1 & -2 \\ \end{array} \right)\vec{x}+ \left( \begin{array}{c}
2 \\ 0 \\ \end{array} \right)\vec{u} \\ \\ y = (1\quad 1)\vec{x}
\end{array} \)
Para la descomposición en paralelo, desarrollamos en fracciones
simples la función de transferencia:
\( \displaystyle G(s) = \frac{2(s+3)}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{(s+1)}
+ \frac{B}{(s+2)}= \frac{4}{(s+1)} - \frac{2}{(s+2)} \)
Podemos tomar entonces:
\( \displaystyle \begin{array}{c} \frac{\hat{X}_1(s)}{\hat{U}(s)}
= \frac{1}{(s+1)}\Rightarrow \hat{U}(s) = (s+1)\hat{X}_1(s)\Rightarrow
\dot{x}_1 = u - x_1 \\ \\ \\ \frac{\hat{X}_2(s)}{\hat{U}(s)}
= \frac{1}{(s+2)}\Rightarrow \hat{U}(s) = (s+2)\hat{X}_2(s)\Rightarrow
\dot{x}_2 = u - x_2 \end{array} \)
Y resulta:
\( \displaystyle \begin{array}{c} \vec{\dot{x}}= \left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\ 1 & -2 \\ \end{array} \right)\vec{x}+ \left( \begin{array}{c}
1 \\ 1 \\ \end{array} \right)\vec{u} \\ \\ y = (4\quad -2)\vec{x}
\end{array} \)
Finalmente, la descomposición en cascada la hacemos como
sigue:
\( \displaystyle G(s) = \frac{\hat{Y}(s)}{\hat{U}(s)} = \frac{2(s+3)}{(s+1)(s+2)}\times
\frac{\hat{X}_1(s)}{\hat{X}_1(s)} \)
E identificando términos:
\( \begin{array}{l} \hat{Y}(s) = 2(s+3).\hat{X}_1(s) \Rightarrow
y = 2\dot{x}_1 + 6x_1 = 2x_2 + 6x_1 \\ \\ \hat{U}(s) = (s+1)(s+2).\hat{X}_1(s)
\Rightarrow\\ \\\Rightarrow u = \ddot{x}_1+ 3\dot{x}_1 + 2x_1
= \dot{x}_2 + 3x_2 + 2x_1 \end{array} \)
Donde hemos puesto:\(\hat{X}_2(s)= s·\hat{X}_1(s)\).
Finalmente, escribiendo las ecuaciones obtenidas en forma matricial:
\( \displaystyle \begin{array}{c} \vec{\dot{x}}= \left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\ -2 & -3 \\ \end{array} \right)\vec{x}+ \left( \begin{array}{c}
0 \\ 1 \\ \end{array} \right)\vec{u} \\ \\ y = (6\quad 2)\vec{x}
\end{array} \)