Ejercicios de automática. Respuesta
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La función de transferencia en lazo abierto se puede escribir:
\( \displaystyle G(s) = \frac{1}{s(s+1)^2 + 1} \)
Y vemos que posee los polos en los puntos:
\( s = 0\quad ; \quad s = -1+i \quad ; \quad -1-i\)
Ninguno de estos polos tiene parte real positiva, por lo tanto,
para que el sistema sea estable, el lugar de Nyquist de G(s) no
ha de redear ninguna vez en el sentido de las agujas del reloj,
al punto (-1, j·0). Veamos que esto es así construyendo
el diagrama de Nyquisr.
En realidad no es necesario que construyamos el diagrama entero
ni no únicamente observar si el punto (-1,j·0) está
redeado por él. Según eso, consideramos s = j·w
y esto nos da en la función de transferencia:
\( \displaystyle G(jw) = \frac{1}{j·w^3 - 2w^2 + 2j·w} = -\frac{2w^2
+ j(2w-w^3)}{4w^3+w(2-w^2)^2} \)
La intersección con el eje real la obtenemos igualando
a cero la parte imaginaria de esta expresión, es decir:
\( \displaystyle - \frac{2-w^2)}{4w^3+w(2-w^2)^2} = 0 \Rightarrow
w = \pm \sqrt{2} \)
Y estos valores corresponden a las frecuencias para las que se
corta el eje real del plano G(s). Las intersecciones con dicho
eje son:
\( \displaystyle - \frac{2-w^2)}{4w^3+w(2-w^2)^2} = 0 \Rightarrow
w = \pm \sqrt{2} \)
Según eso el diagrama de Nyquist será como el representado
en la figura adjunta y el sistema estudiado es estable, puesto
que el punto (-1+j·0) no está rodeado por el lugar
de Nyquist de la función de transferencia considerada.