Demostrar que el máximo avance de fase \(\phi_m\) de la red representada en la figura del ejercicio 21, y la frecuencia \(\omega_m\) en la que ocurre vienen dados por:

\( \displaystyle \sin \phi = \frac{\alpha-1}{\alpha+1}\quad ; \quad \omega = \frac{\sqrt{\alpha}}{\tau} \)

Ejercicios de automática. Respuesta 22

Para obtener el máximo desfase del sistema considerado y la frecuencia en que ocurre, hacemos:

\( \displaystyle \phi = arg \left(\frac{V_o}{V_i}\right) = artg(\tau·\omega)- artg\left(\frac{\tau}{\alpha}·\omega\right) = artg \left(\frac{(\alpha-1)\tau·\omega}{\alpha + \tau^2\omega^2}\right) \)

Y tomando tangentes en ambos miembros:

\( \displaystyle \tan \phi = \frac{(\alpha-1)\tau·\omega}{\alpha + \tau^2\omega^2} \)

La frecuencia a la cual se produce el máximo desfase se obtiene por:

\( \displaystyle \frac{d(\tan \phi)}{d\omega} = \frac{d}{d\omega} \left[\frac{(\alpha-1)\tau·\omega}{\alpha + \tau^2\omega^2}\right] = 0 \Rightarrow \omega_c = \frac{\sqrt{\alpha}}{\tau} \)

Y sustituyendo este valor en la expresión de \(\tan \phi\):

\( \displaystyle \tan \phi = \frac{(\alpha-1)}{2\sqrt{\alpha}} \Leftrightarrow \sin \phi = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2\alpha}} = \frac{\alpha-1}{\alpha+1} \)