Demostrar que la función de transferencia de la red de
avance de fase representada en la figura adjunta es:
\( \displaystyle \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{1}{\alpha}\frac{1+\tau·s}{1
+ \frac{\tau}{\alpha}·s} \)
Y para la que se tiene:
\( \displaystyle \alpha = \frac{R_1 + R_2}{R_2}\quad ; \quad
\tau = R_1·C_1 \)
Siendo \(1/\alpha\) la atenuación a frecuencias bajas.
Ejercicios de automática. Respuesta
21
Para obtener la función de transferencia consideramos al
condensador como una resistencia ficticia cuyo valor vendrá
dado por:
\( \displaystyle V_c = \frac{1}{C}\int I·dt \Rightarrow V_c
= \frac{1}{C·s}·I \Rightarrow R = \frac{V_c}{I} = \frac{1}{C·s}
\)
De ese modo, las componentes en paralelo podrán sustituirse
formalmente por un elemento de resistencia:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
V_c = \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_c} = \frac{1}{R_1} + C·s = \frac{1+R_1C·s}{R_1}\Rightarrow \\
\\
\Rightarrow R = \frac{R_1}{1+R_1C·s}
\end{array}\)
Y tendremos:
\( \displaystyle V_i = \left[\frac{R_1}{1+R_1C·s} + R_2\right]\quad
; \quad V_o = R_2·I \)
Con lo que, finalmente:
\( \displaystyle \frac{V_o}{V_i} = \frac{R_2(1+R_1C·s)}{R_1+R_2+R_1R_2C·s}
= \frac{R_2}{R_1+R_2}\times \frac{1+R_1C·s}{1 + \frac{R_2}{R_1+R_2}·C·s
} \)
Y poniendo:
\( \displaystyle \alpha = \frac{R_1 + R_2}{R_2}\quad ; \quad
\tau = R_1·C \)
Nos queda:
\( \displaystyle \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{1}{\alpha}\frac{1+\tau·s}{1
+ \frac{\tau}{\alpha}·s} \)
Como queríamos demostrar.
