Sea el sistema descrito por la ecuación diferencial:
\( \displaystyle \frac{d^2y}{dt^2} + 3ˇ\frac{dy}{dt} + 2y =
x \)
Con las condiciones iniciales y(0) = 0 ; y' (0) = 1 . Determinar:
a) La función de transferencia del sistema
b) Las ecuaciones de estado
c) La función de transferencia a partir de las ecuaciones
de estado.
Ejercicios de automática. Respuesta
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Para obtener la función de transferencia calculamos la
transformada de Laplace del sistema ignorando los términos
debidos a condiciones iniciales:
\( \displaystyle G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}= \frac{1}{s^2 + 3s
+ 2} \)
Para obtener las ecuaciones de estado hacemos:
\( \begin{array}{l} y(t) = u_1(t) \\ \\ \\ \dot{y}(t) = u_2(t)
\\ \vdots \\ \\ \dot{y}^{n-1}(t) = u_n(t) \end{array}\quad derivando\quad
\begin{array}{l} \dot{y}(t) = \dot{u}_1(t)= u_2(t) \\ \\ \\
\ddot{y}(t) = \dot{u}_2(t)= u_3 \\ \vdots \\ \\ \dot{y}^{n}(t)
= \dot{u}_n(t)= u_{n+1}(t) \end{array} \)
en nuestro caso, aplicando la expresión general:
\( \dot{u}_2(t) = \ddot{y}(t) = x - 3ˇ\dot{y}(t) - 2ˇy(t) =
x - 3ˇu_2(t) - 2ˇu_1(t) \)
y el sistema a formar será:
\( \begin{array}{l} \vec{\dot{u}} = \left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\ -2 & -3 \\ \end{array} \right)\vec{u} + \left( \begin{array}{l}
0 \\ 1 \\ \end{array} \right)ˇ\vec{x} \\ \\ y(t) = (1\quad 0)ˇu(t)
\end{array} \)
La función de transferencia a partir de las ecuaciones
de estado, se obtiene como sigue:
\( \displaystyle G(s) = (1\quad 0)\left[\left( \begin{array}{cc}
s & 0 \\ 0 & s \\ \end{array} - \right)- \left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\ -2 & -3 \\ \end{array} \right) \right]^{-1}\left( \begin{array}{c}
0 \\ 1 \\ \end{array} \right) = \frac{1}{s(s+3)+2} \)
y la expresión coincide con la obtenida al principio.