CÁLCULO DE PROBABILIDADES

De una población de tamaño N se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 3, con reemplazamiento, es decir, restituyendo el elemento extraído en cada una de las operaciones. Demuéstrese que las probabilidades de que la muestra extraída contenga 1, 2 y 3 elementos distintos son, respectivamente:

\( \displaystyle \frac{1}{N^2} \; ; \; \frac{3(N-1)}{N^2} \; ; \;\frac{(N-1)(N-2)}{N^2} \)

RESPUESTA DEL EJERCICIO 32

Sean \(\{e_1, e_2, \ldots , e_N\}\) los elementos de la población. Sabemos que en el caso de muestreos aleatorios con reemplazamiento en una población de tamaño N, el número de muestras distintas posibles de tamaño n, viene dado por la expresión, N_n por lo que en nuestro caso tendremos que el número de muestras posibles es N₃. De entre todos estos posibles casos, aquella muestra compuesta por el elemento e₁ repetido tres veces solo se puede presentar una vez; por lo tanto, la probabilidad de este suceso será:

\( \displaystyle P(e_1, e_1, e_1) = \frac{1}{N^3} \)

Pero como lo que se nos pide en el primer caso es determinar la probabilidad de que la muestra extraída contenga un elemento distinto y hay en total N elementos, la probabilidad de dicho suceso será:

\( \displaystyle P(e_i, e_i, e_i) = \frac{1}{N^3}\times N = \frac{1}{N^2} \)

Cuando las muestras a extraer presenten al elemento e₁ repetido dos veces, tendrán alguna de las formas:

\( (e_1, e_1, e_i \; , \; e_1, e_i, e_1 \; , \; e_i, e_1, e_1) \; con \; i\neq 1 \)

Y, por lo tanto, habrá 3(N-1) muestras en las que el elemento e₁ estará repetido 2 veces. Cómo tenemos N elementos distintos, el número total de muestras posibles de tres elementos con dos elementos iguales y otro distinto, será 3N(N-1) y la probabilidad de obtener una de estas muestras vendrá dada por:

\( \displaystyle P(\{e_i, e_i,e_j\}) = \frac{1}{N^3}\times 3N(N-1) = \frac{3(N-1)}{N^2} \)

Finalmente, la probabilidad de que los tres elementos extraídos sean distintos la podemos calcular sabiendo que un suceso de ese tipo ocurrirá cuando no ocurra alguno de los tipos anteriormente analizado, es decir:

\( P(\{e_i, e_j,e_k\}) = 1 - [P(\{e_i, e_i,e_i\})+ P(\{e_i, e_i,e_j\}) ] \)

Y sustituyendo valores:

\( \displaystyle P(\{e_i, e_j,e_k\}) = 1 - \left[\frac{1}{N^2}+ \frac{3(N-1)}{N^2}\right] = \frac{(N-1)(N-2)}{N^2} \)

Como queríamos demostrar.