CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Se tienen dos muestras de opinión efectuadas sobre el electorado inglés,
respectivamente (n
1 = 300) y (n
2 = 600) ; en la
primera el 42 % de los encuestados favorecía la entrada de los conservadores
en el gobierno y en la segunda, el porcentaje de los partidarios era del
44 %. ¿Pueden proceder ambas muestras de una misma población de votantes
admitiendo un grado de confianza del 95? Se entiende que los encuestados
respondieron sí ó no sin abstenciones.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 25.
Según sabemos por teoría, se deberá tener :
\( \displaystyle \begin{array}{l}
t = \frac{m_1 - m_2}{\sqrt{\displaystyle \frac{\sigma_1^2}{n_1}+
\frac{\sigma_2^2}{n_2}}} = \\
\\
= \frac{m_1 - m_2}{\sqrt{\displaystyle \frac{m_1(1-m_1)}{n_1}+
\frac{m_2(1-m_2)}{n_2}}} \in (-1,96 \; ; \; + 1,96)
\end{array}\)
lo que significa que t debe pertenecer al intervalo dado. Bajo
esas condiciones, la hip6tesis de que ambas muestras proceden
de una misma población se podrá aceptar con una seguridad del
95 %. Con los datos del problema tenemos :
m1 = 0,42 , n1 = 300 ; m2
= 0,44 ; n2 = 600
Sustituyendo en la ecuación anterior resulta:
\( \displaystyle \begin{array}{l} t = \frac{0,42 - 0,44}{\sqrt{\displaystyle
\frac{0,42(1-0,42)}{300}+ \frac{0,44(1-0,44)}{600}}} = \\
\\ = -0,57 \in (-1,96 \; ; \; + 1,96) \end{array} \)
Por lo tanto, podemos decir con una seguridad del 95 % que las
dos muestras pertenecen a la misma población. Los valores -1,96
; +1,96 resultan de aproximar a 95 % el intervalo de confianza
de la muestra. Si ponemos que la variable se encuentra en el intervalo
:
\( \displaystyle \begin{array}{l} x = \mu \pm 2\sigma \Rightarrow
t = \pm 2 \; ; \\ \\ \int_{-2}^2 P(t)dt = E(2) - E(-2) = 0,9544
\Rightarrow 95,44 \textrm{%} \end{array} \)
Así que en este caso lo que se ha hecho es tomar t dentro del
intervalo indicado.