Problemas resueltos de Métodos Matemáticos
Hallar la derivada direccional de la función:
En el punto (2,1,3) la dirección que va desde este punto
al (5,5,15)
Respuesta del ejercicio 67
Calculamos primero el gradiente de la función en el punto
(2,1,3). Derivadas parciales en el punto considerado son:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{\partial U}{\partial x }= y+z\Rightarrow \left(\frac{\partial
U}{\partial x }\right)_p =4 \\
\\
\frac{\partial U}{\partial y }= x+z\Rightarrow \left(\frac{\partial
U}{\partial x }\right)_p =5 \\
\\
\frac{\partial U}{\partial z }= y+x\Rightarrow \left(\frac{\partial
U}{\partial x }\right)_p =3 \\
\end{array} \)
Por lo tanto el gradiente será:
\( \overrightarrow{grad }(U)_p = 4·\hat{i} + 5·\hat{j}
+ 3·\hat{k} \)
Cómo sabemos que se tiene:
\( \displaystyle \frac{\partial U}{\partial \vec{t} } = \overrightarrow{grad
}(U)_p·\vec{t} \)
Hablamos el vector unitario en la dirección pedida:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\vec{V} = 3·\hat{i} + 4·\hat{j} + 12·\hat{k}
\Rightarrow |V|= \sqrt{169} = 13\Rightarrow \\
\\
\Rightarrow t = \frac{1}{13}\left(3·\hat{i} + 4·\hat{j}
+ 12·\hat{k}\right) \\
\end{array} \)
Con lo que tenemos:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{\partial U}{\partial \vec{t} } = (4·\hat{i} + 5·\hat{j}
+ 3·\hat{k})\left[\frac{1}{13}\left(3·\hat{i}
+ 4·\hat{j} + 12·\hat{k}\right)\right] = \\
\\
= \frac{12}{13} +\frac{20}{13} + \frac{36}{13} = \frac{68}{13}
\\
\end{array} \)