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PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
MÉTODOS NUMÉRICOS

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Hallar la derivada direccional de la función:
    \( u = x^2 - 3·yz + 5\)
En el punto M(1,2,-1) y en la dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes coordenados.

Respuesta del ejercicio 66

Las derivadas parciales en el punto (1,2,-1):
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial u}{\partial x }= 2·x\Rightarrow \left(\frac{\partial u}{\partial x }\right)_p =2 \\
     \\
    \frac{\partial u}{\partial y }= -3·z\Rightarrow \left(\frac{\partial u}{\partial x }\right)_p =3 \\
     \\
    \frac{\partial u}{\partial z }= -3·y\Rightarrow \left(\frac{\partial u}{\partial x }\right)_p =-6 \\
    
    \end{array} \)
Sabemos que los cosenos directores de un vector en el espacio cumplen la relación:
    \( \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta +\cos^2 \gamma = 1 \)
En nuestro caso todos los ángulos son iguales, lo que tendremos:
    \( \displaystyle 3·\cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
Y la derivada direccional en el punto (1,2,-1) será:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial u}{\partial \vec{t} } = \frac{\partial u}{\partial x }·\cos \alpha+ \frac{\partial u }{\partial y }·\cos\alpha + \frac{\partial u}{\partial z}·\cos \alpha \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow\quad 2·\frac{1}{\sqrt{3}} +3·\frac{1}{\sqrt{3}}-6·\frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{1}{\sqrt{3}}\\
    
    \end{array} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás