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PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
MÉTODOS NUMÉRICOS

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Mostrar que sí \( f(x,y,z) \) una función homogénea de grado n, dos veces diferenciable, se verifica:
    \( \displaystyle \left(x·\frac{\partial}{\partial x}+ y·\frac{\partial}{\partial y} + z·\frac{\partial}{\partial z}\right)^2·f(x,y,z) = n(n-1)·f(x,y,z) \)
Respuesta del ejercicio 62

Si \( f(x,y,z) \) es una función homogénea, cumple el teorema de Euler y podemos poner:
    \( f_x^\prime·x +f_y^\prime·y+f_z^\prime·z = n·f(x,y,z)\qquad (A) \)
En el ejercicio 90 de análisis matemático se demostrado que las derivadas parciales de una función diferenciable, homogénea, de grado n, son funciones homogéneas de grado n-1, con lo cual podemos poner:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f_x^\prime(tx\: ,\: ty\: ,\: tz) = t^{n-1}·f_x^\prime(x,y,z)\Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow f_x^\prime(x,y,z)= \frac{f_x^\prime(tx\: ,\: ty\: ,\: tz)}{t^{n-1}} \\
    
    \end{array} \)
De forma análoga se despejan las otras dos derivadas parciales, con lo que sustituyendo en (A) tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{f_x^\prime(tx\: ,\: ty\: ,\: tz)}{t^{n-1}}·x + \frac{f_y^\prime(tx\: ,\: ty\: ,\: tz)}{t^{n-1}}·y + \\
     \\
    + \frac{f_z^\prime(tx\: ,\: ty\: ,\: tz)}{t^{n-1}}·z = n·f(x,y,z) \\
    
    \end{array} \)
De dónde nos queda:
    \( \begin{array}{l}
    f_x^\prime(tx\: ,\: ty\: ,\: tz)·x + f_y^\prime(tx\: ,\: ty\: ,\: tz)·y\\
     \\
    f_z^\prime(tx\: ,\: ty\: ,\: tz)·z = n·t^{n-1}·f(x,y,z) \\
    
    \end{array} \)
Derivando está expresión respecto a t, podemos poner:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial f_x^\prime}{\partial(tx)}·x^2 + \frac{\partial f_x^\prime}{\partial(ty)}·xy + \frac{\partial f_x^\prime}{\partial(tz)}·xz +\frac{\partial f_y^\prime}{\partial(tx)}·yx + \\
     \\
    \frac{\partial f_y^\prime}{\partial(ty)}·y^2 + \frac{\partial f_y^\prime}{\partial(ty)}·yz + \frac{\partial f_z^\prime}{\partial(tx)}·zx +\frac{\partial f_z^\prime}{\partial(ty)}·zy + \\
     \\
    + \frac{\partial f_z^\prime}{\partial(tz)}·z^2 = n(n-1)·t^{n-2}·f(x,y,z) \\
    
    \end{array} \)
Haciendo t=1, nos queda:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial f_x^\prime}{\partial(x)}·x^2 + \frac{\partial f_x^\prime}{\partial(y)}·xy + \frac{\partial f_x^\prime}{\partial(z)}·xz +\frac{\partial f_y^\prime}{\partial(x)}·yx + \\
     \\
    \frac{\partial f_y^\prime}{\partial(y)}·y^2 + \frac{\partial f_y^\prime}{\partial(y)}·yz + \frac{\partial f_z^\prime}{\partial(x)}·zx +\frac{\partial f_z^\prime}{\partial(y)}·zy + \\
     \\
    + \frac{\partial f_z^\prime}{\partial(z)}·z^2 = n(n-1)·f(x,y,z) \\
    
    \end{array} \)
Está expresión la podemos transformar sabiendo que las derivadas cruzadas de segundo orden una función dos veces diferenciable son iguales; simbolizando las derivadas primera como derivadas segundas:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    x^2· \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+ y^2· \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+z^2· \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}+ 2xy· \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+\\
     \\
    + 2xz· \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} + 2yz· \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z}= n(n-1)·f(x,y,z) \\
    
    \end{array} \)
Que simbólicamente se puede poner:
    \( \displaystyle \left(x · \frac{\partial }{\partial x }+ y · \frac{\partial }{\partial y }+z · \frac{\partial}{\partial z}\right)^2·f(x,y,z) = n(n-1)·f(x,y,z) \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás