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PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
MÉTODOS NUMÉRICOS

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Demostrar que sí \( u\quad y\quad v \) son soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal de segundo orden, entonces:
    \( y_1 = u + v \quad ; \quad y_2 = u - v \)
Son también un conjunto fundamental de soluciones.

Respuesta del ejercicio 61

Para demostrar que \( (u+v)\quad y\quad(u-v)\) son soluciones de una ecuación lineal de segundo orden, consideramos las propiedades de linealidad del operador \( \hat{L} \):
    \( \begin{array}{l}
    \hat{L}(u+v) = \hat{L}(u) + \hat{L}(v) = 0 + 0 = 0 \\
     \\
    \hat{L}(u-v) = \hat{L}(u) - \hat{L}(v) = 0 - 0 = 0
    \end{array} \)
Para demostrar que son linealmente independientes consideramos su bronsquiano:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    W(y_1 , y_2) = \left|
    \begin{array}{cc}
    u+v & u-v \\
    u^\prime+v^\prime & u^\prime- v^\prime \\
    \end{array}
    \right| = \\
     \\
    = (u+v)(u^\prime+v^\prime) - (u-v)(u^\prime-v^\prime ) = - 2W(u,v)
    \end{array}\)
Y puesto que, \( u\quad y\quad v \) son linealmente independientes, por hipótesis, su bronsquiano:
    \( W(u,v) = uv^\prime - vu^\prime \)
Será distinto de cero, lo que implica que también lo sea el de \( y_1\quad e\quad y_2 \).
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Página publicada por: José Antonio Hervás