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PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
MÉTODOS NUMÉRICOS

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Resolver la ecuación diferencial:
    \( y^{\prime\prime} + 4·y = 4·\cos 2·x + 6·\cos x + 8·x^2 - 4·x \)
Respuesta del ejercicio 59

La solución de la ecuación homogénea se obtiene de:
    \( y^{\prime\prime} - 4·y= 0\;;\;(D^2 - 4)y = 0 \;;\; r^2 -4 = 0 \Rightarrow r= \pm 2·i \)
Con lo que podemos poner:
    \( y_h = C_1·\cos 2x + C_2·\sin 2x \)
Para obtener la solución particular aplicamos el método de coeficientes indeterminados:
    \( \begin{array}{l}
    y_p = (A·\cos 2x + B·\sin 2x)x + C·\cos x + \\
     \\
    + D·\sin x + E·x^2 + F·x + G
    \end{array}\)
El motivo de haber multiplicado por x el primer término es que los sumandos de el se han obtenido en la solución homogénea.
Derivando dos veces la anterior expresión obtenemos:
    \( \begin{array}{l}
    y^\prime = (A·\cos 2x + B·\sin 2x) + (-2A·\sin 2x + 2B·\cos 2x)x - \\
     \\
    - C·\sin x + D·\cos x + 2E·x + F \\
     \\
    y^{\prime\prime} = -2A·\sin 2x + 2B·\cos 2x + (-4A·\cos 2x - 4B·\sin 2x)x - \\
     \\
    - 2A·\sin 2x + 2B·\cos 2x - C·\cos x - D·\sin x + 2E \\
    
    \end{array} \)
Y sustituyendo en la ecuación diferencial, después de reagrupar términos, nos queda:
    \( \begin{array}{l}
    (-2A-2A)\sin 2x + (2B+2B)\cos 2x + (-4B+4B)x·\sin 2x + \\
     \\
    + (-4A+4A)x·\cos 2x + (-D + 4D)\sin x + (-C+4C)\cos x + \\
     \\
    + 4E·x^2 + 4F·x + 4G + 2E = 4·\cos 2x + 6·\cos x + 8·x^2 - 4·x
    \end{array} \)
E identificando:
    \( \begin{array}{l}
    -4A= 0 \; ;\; 4B = 0 \; ; \; 3D = 0 \; ;\; 3C = 6 \\
     \\
    4E = 8 \; ;\;4F =-4 \; ;\; 4G - 2E = 0
    \end{array} \)
Que nos da como valores para los coeficientes:
    \( A = 0 \; ;\; B = 1 \; ;\; C = 2 \; ;\; D = 0 \; ;\; E = 2 \; ; \; F 0 -1 \; ;\; G = 1 \)
Con lo que es la solución general completa es:
    \( y = C_1·\cos 2x + C_2·\sin 2x + x·\sin 2x +2·\cos x + 2·x^2 - x + 1 \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás