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PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
MÉTODOS NUMÉRICOS

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Resolver la ecuación diferencial:
    \( \displaystyle y^{\prime\prime} - 2·y^{\prime}= 12·x - 10 \)
Respuesta del ejercicio 58

Primero resolvemos la ecuación homogénea correspondiente:
    \( y^{\prime\prime} - 2·y^{\prime}= 0\;;\;(D^2 - 2D)y = 0 \;;\; r^2 -2r = 0 \Rightarrow r_1= 0 \;;\; r_2 = 2 \)
Con lo que tenemos:
    \(y_h = C_1 + C_2·e^{2x} \)
Para calcular la solución particular de la ecuación total aplicamos el método de variación de constantes:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    y = C_1(x) + C_2(x)·e^{2x} \\
     \\
    y^\prime = C_1^\prime + C_2^\prime·e^{2x}+ 2·C_2·e^{2x}\Rightarrow C_1^\prime(x) + C_2^\prime·e^{2x}= 0 \\
     \\
    y^{\prime\prime} = 2·C_2^\prime·e^{2x}+ 4·C_2·e^{2x}\Rightarrow 2·C_2^\prime·e^{2x} = 12·x - 10 \\
    
    \end{array} \)
De la tercera ecuación despejamos el valor de \(C_2^\prime \) :
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    C^\prime_2 = \frac{6·x - 5}{e^{2x}}= (6·x - 5)e^{-2x} \\
     \\
    C_2 = \int 6x·e^{-2x}·dx - \int 5·e^{-2x}·dx
    \end{array} \)
Pero teniendo en cuenta:
    \( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(- 3x·e^{-2x}\right) = - 3·e^{-2x} + 6x·e^{-2x} \)
Nos queda:
    \( \displaystyle C_2 = \int d\left(- 3x·e^{-2x}\right)+ \int - 2·e^{-2x}·dx = 3x·e^{-2x} + e^{-2x} \)
Para obtener \( C_1 \) multiplicamos la primera ecuación por 2 y le restamos la segunda, con lo que obtenemos:
    \( 2·C_1^\prime = -12·x + 10 \; ;\; C_1^\prime = -6·x + 5\; ;\; C_1 = -3·x^2 + 5·x \)
Sustituyendo los valores encontrados en la solución, obtenemos:
    \(y_p = (-3·x^2 + 5·x) + (- 3x·e^{-2x} + e^{-2x})e^{2x} = - 3·x^2 + 2·x + 1 \)
Y la solución general será:
    \( y = C_1 + C_2·e^{2·x} - 3·x^2 + 2·x + 1 \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás