Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
MÉTODOS NUMÉRICOS

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Utilizando las dos propiedades definidoras de la función delta de Dirac:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \delta(x-x_o) = 0\quad para\; x\neq x_o \\
     \\
    \int_a^b\delta(x-x_o)dx = 1\quad \forall\; a < x_o < b \\
    
    \end{array} \)
Deducir las dos propiedades siguientes:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \delta(x-x_o) = \delta(x_o -x) \\
     \\
    f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x^\prime)·\delta(x^\prime - x)dx^\prime \\
    
    \end{array} \)
Respuesta del ejercicio 57

La función delta de Dirac se define a partir de la función escalón unidad dado por:
    \( \displaystyle d_\tau(x-x_o) = \left\{
    \begin{array}{l}
    \frac{1}{2\tau}\qquad en\;x_o-\tau \leq x \leq x_o + \tau \\
     \\
    0 \qquad en \quad el\quad resto \\
     \\
    \end{array}
    \right. \)
Pues para esta función se tiene,
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{\tau\rightarrow 0} d_\tau(x-x_o) =\left\{
    \begin{array}{l}
    0\; si\; x\neq x_o \\
     \\
    \infty\; si\; x = x_o
    \end{array}
    \right. \\
     \\
    \int_{-\infty}^{+\infty}d_\tau(x-x_o)dx = \int_{x_o-\tau}^{x_o+\tau}d_\tau(x-x_o)dx =\left[\frac{1}{2\tau}\right]_{x_o-\tau}^{x_o+\tau} \\
    
    \end{array} \)
Por consiguiente:
    \( \displaystyle \delta(x_o-x) = \lim_{\tau\rightarrow 0} \;d_\tau[-(x-x_o)] =\left\{
    \begin{array}{c}
    0\; si\; x_o\neq x \\
     \\
    \infty \; si\; x_o = x \\
    \end{array}
    \right\} = \delta(x - x_o) \)
Para la segunda parte hacemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \int_{-\infty}^{+\infty}f(x^\prime)\delta(x^\prime - x)dx^\prime = \lim_{\tau\rightarrow 0}\int_{x_o-\tau}^{x_o+\tau}f(x^\prime)d_\tau(x^\prime - x)dx^\prime = \\
     \\
    = \lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{1}{2\tau} \int_{x_o-\tau}^{x_o+\tau}f(x^\prime)dx^\prime
    \end{array} \)
Y aplicando el teorema del valor medio:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{1}{2\tau} \int_{x_o-\tau}^{x_o+\tau}f(x^\prime)dx^\prime = \\
     \\
    = \lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{1}{2\tau}[(x+\tau) - (x-\tau)]f(\xi) = \lim_{\tau\rightarrow 0} f(\xi) =f(x)
    \end{array} \)
Dónde \( \xi \) es un valor comprendido en el intervalo:
    \( x - \tau \leq \xi\leq x + \tau \)
Ya que se aproxima a x a medida que \( \tau \) tiende a cero.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás