Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
MÉTODOS NUMÉRICOS

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Calcular la perturbación resultante de componer las siguientes perturbaciones de la misma amplitud,A, y de fases variando en progresión aritmética de razón \( \varphi \):
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \sum = A·\sin(w·t + \alpha) + A·\sin(w·t + \alpha + \varphi) + ... \\
     \\
    ... + A·\sin(w·t + \alpha + [n-1]\varphi) \\
    
    \end{array}\)
Respuesta del ejercicio 56

Para calcular esta suma resulta más cómodo expresar cada uno de los términos con notación exponencial es decir:
    \( \begin{array}{l}
    A·e^{iwt}·e^{i·\alpha}\quad , \quad A·e^{iwt}·e^{i·\alpha}·e^{i\varphi},\;\cdots \\
     \\
    \cdots\;, A·e^{iwt}·e^{i·\alpha}·e^{i(n-1)\varphi} \\
    
    \end{array} \)
La suma pedida se podrá calcular sumando los términos anteriores y volviendo a expresar el resultado final en notación real. Esto se puede hacer al tratarse la suma de una operación lineal. Así pues, la suma buscada será:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    A·e^{iwt}·e^{i·\alpha}+ A·e^{iwt}·e^{i·\alpha}·e^{i\varphi}+\cdots \\
     \\
    \cdots+ A·e^{iwt}·e^{i·\alpha}·e^{i(n-1)\varphi} = A·e^{iwt}·e^{i\alpha}\sum_{k=0}^{n-1}e^{ik\varphi} \\
    
    \end{array} \)
Pero,
    \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}e^{ik\varphi} \)
Es una progresión geométrica finita de razón \( e^{\varphi} \). Su suma se obtiene inmediatamente por:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \sum_{k=0}^{n-1}e^{ik\varphi}= \frac{e^{i(n-1)\varphi}·e^{i\varphi} - 1}{e^{i\varphi} -1} = \frac{e^{in\varphi}- 1}{e^{i\varphi} - 1}= \\
     \\
    = \frac{e^{in(\varphi/2)}\left(e^{in(\varphi/2)} - e^{-in(\varphi/2)}\right)}{e^{i(\varphi/2)}\left(e^{i(\varphi/2)} - e^{-i(\varphi/2)}\right)}= e^{i(n-1)(\varphi/2)}·\frac{\sin n(\varphi/2}{\sin(\varphi/2)} \\
    
    \end{array}
    \)
Según esto, la suma de las perturbaciones nos da, en notación exponencial:
    \( \displaystyle A·\frac{\sin n(\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)}·e^{iwt}·e^{i[\alpha + (n-1)(\varphi/2)]} \)
Finalmente, en notación real, el resultado anterior se expresará:
    \( \displaystyle \sum = A·\frac{\sin n(\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)}·\sin[wt + \alpha + (n-1)(\varphi/2] \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás