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PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
MÉTODOS NUMÉRICOS

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Demostrar que se la función g(x) es de la forma:
    \( \displaystyle g(y) = \int_{-1}^1 e^{-i\pi x·y}·\theta(x)dx \)
Entonces g(x) escribe como:
    \( \displaystyle g(y) = \sum_{-\infty}^{+\infty}g(n)·\frac{\sin \pi(y-n)}{\pi(y-n)} \)
Ayuda: Desarróllese \( \theta(x) \) en serie de Fourier

Respuesta del ejercicio 55

El resultado del problema anterior es tanto como demostrar que g(y) puede escribirse en cualquier punto a partir únicamente de sus valores en un conjunto discreto de puntos, o bien, sabiendo que la transformada de Fourier de g(y) si hace 0 fuera del intervalo [-1,+1] la función g(y) queda totalmente determinada a partir de un conjunto discreto de sus valores.
Para demostrarlo, supongamos \( \theta(x) \) periódica, de periodo \( T = 2 \;(w = \pi) \), ya que se repite en los intervalos:
    \( \cdots, [-3,-1], [-1,1],[1,3],[3,5],\cdots \)
Está consideración puede hacerse sin problemas porque no afecta al resultado de (1) ya que la integral está extendida entre -1 y +1, coincidente con el periodo supuesto para \( \theta(x) \).
Como expresiones del desarrollo de Fourier (exponencial) vamos a tomar:
    \( \displaystyle f(t) = \sum_{-\infty}^{+\infty}F_n·e^{inw_ot} \)
Dónde:
    \( \displaystyle F_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{+T/2}f(t)·e^{-inw_ot}·dt \)
Escribiendo en este caso:
    \( t = x \; ;\; T = 2 \; ;\; w_o = \pi \)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle \theta(x) = \sum_{-\infty}^{+\infty}F_n·e^{inw_ox} \)
Con:
    \( \displaystyle F_n = \frac{1}{2}\int_{-1}^{+1}\theta(z)·e^{-in\pi·z}·dz \)
Es decir:
    \( \displaystyle \theta(x) = \sum_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\int_{-1}^{+1}\theta(z)·e^{-in\pi·x}·dz\right)e^{in\pi·x} \)
Podemos poner así para g(y) :
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    g(y) = \int_{-1}^{+1}e^{-i\pi·xy}\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2}\left[\int_{-1}^1\theta(z)·e^{-i\pi n·z}·dz\right]e^{in\pi·x}·dx = \\
     \\
    = \sum_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2}·g(n)\int_{-1}^{+1}e^{-i\pi·x(y-n)}·dx = \\
     \\
    = \sum_{-\infty}^{+\infty}g(n)·\frac{1}{-2i\pi(y-n)}\left[e^{-i\pi·x(y-n)}\right]_{-1}^1 = \\
     \\
    = \sum_{-\infty}^{+\infty}g(n)·\frac{1}{\pi(y-n)}·\frac{1}{2·i}\left(e^{i\pi(y-n)} - e^{-i\pi(y-n)}\right) \\
    
    \end{array} \)
Y resumiendo:
    \( \displaystyle g(y) = \sum_{-\infty}^{+\infty}g(n)·\frac{\sin \pi(y-n)}{\pi(y-n)} \)
Este enunciado es una versión simplificada del "teorema del muestreo",de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, muy utilizado en telecomunicaciones.
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Página publicada por: José Antonio Hervás