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PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
MÉTODOS NUMÉRICOS

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Sea g(x) una función acotada. Calcular la transformada de Fourier de la función:
    \( \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}[g(x)] \)
Respuesta del ejercicio 54

Existen muchas formas y que valientes de definir la transformada de Fourier. Para este problema utilizaremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    G(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)·e^{-ikx}·dx\quad ; \quad G(k) = \mathfrak{F}[g(x)] \\
     \\
    g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}G(k)·e^{ikx}·dk\quad ; \quad g(x) = \mathfrak{F}^{-1}[G(k)] \\
    
    \end{array} \)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{d^2}{dx^2}[g(x)] = \frac{d^2}{dx^2}\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}G(k)·e^{ikx}·dk\right]= \\
     \\
    = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}G(k)\frac{d^2}{dx^2}(e^{ikx})dk = \\
     \\
    = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[- k^2·G(k)\right]e^{ikx}·dk = -k^2·\mathfrak{F}^{-1}[G(k)] \\
    
    \end{array} \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle \mathfrak{F}\left\{\frac{d^2}{dx^2}[g(x)]\right\} = \mathfrak{F}\left\{-k^2·\mathfrak{F}^{-1}[G(k)] \right\} = - k^2·G(k) \)
Con lo que el problema queda resuelto.
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Página publicada por: José Antonio Hervás