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PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
MÉTODOS NUMÉRICOS

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Obtener la curvatura de los rayos emitidos en dirección horizontal si el gradiente de temperaturas es vertical y vale:
    \( \displaystyle \frac{dT}{dz} = - 10º\;m^{-1} \)
Obtener asimismo la desviación después de un recorrido de 1 km.
Utilice la fórmula de Gladstone: \( +(n-1)= c·\rho \), y las hipótesis simplificadoras que se considere oportunas.

Respuesta del ejercicio 53

Hemos visto en el problema anterior, que la curvatura viene dada por
    \( \displaystyle \frac{1}{R} = \frac{1}{n}·(\overrightarrow{grad\;n})·\hat{N} \)
Suponiendo que el aire se comporte como un gas perfecto tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    P·V = \frac{M}{P_m}·R·T \Rightarrow P·\frac{V}{M} = \frac{1}{P_m}·R·T \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \frac{P}{\rho}= \frac{1}{P_m}·R·T \Rightarrow P = Cte·T·\rho \\
    
    \end{array} \)
Si consideramos que la presión es constante, resulta \( T·\rho = Cte. \), y diferenciando:
    \( \displaystyle \rho·dT + T·d\rho = 0 \Rightarrow - \frac{1}{T}·\frac{dT}{dz} = \frac{1}{\rho}·\frac{d\rho}{dz}\qquad (1) \)
Por otro lado, de la forma la de Gladstone:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    (n-1) = c·\rho \Rightarrow n = c·\rho + 1 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \frac{dn}{dz} = c·\frac{d\rho}{dz} = \frac{n-1}{\rho}·\frac{d\rho}{dz} \\
    
    \end{array} \)
Y sustituyendo en (1):
    \( \displaystyle \frac{1}{n-1}·\frac{dn}{dz} = - \frac{1}{T}·\frac{dT}{dz} \Rightarrow \frac{dn}{dz} = - \frac{n-1}{T}·\frac{dT}{dz} \)
Finalmente, la curvatura de los rayos vendrá dada por:
    \( \displaystyle \frac{1}{R} = - \frac{n-1}{n}·\frac{1}{T}·\frac{dT}{dz}·\cos \theta \)
Cuando los rayos son verticales, \( \cos \theta = 1 \).
Para el segundo apartado tenemos que el radio de curvatura es grande (por ser \( n\simeq 1 \)) y suponemos (aproximación) que al desplazarnos un kilómetro, no ha variado, por lo que la desviación será \( \theta = 1/R \), radianes.
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Página publicada por: José Antonio Hervás