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PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
MÉTODOS NUMÉRICOS

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Si el gradiente del índice del aire cerca de la superficie de la Tierra tiene de valor \( - 3·10^{-8} m^{-1} \), el índice es n = 1,0003, obtener la curvatura del haz de un láser situado en posición horizontal en las proximidades de la tierra y el gradiente necesario para que las volviera al punto de partida después de describir una trayectoria en torno a la Tierra.

Respuesta del ejercicio 52

De la ecuación diferencial de los rayos:
    \( \displaystyle \frac{dn}{ds}·\hat{T} + \frac{n}{R}·\hat{N} = \overrightarrow{grad \:n} \)
Obtenemos la curvatura de estos, dada al multiplicar escalarmente por \( \hat{N} \):
    \( \displaystyle \frac{dn}{ds}·(\hat{T}.\hat{N}) + \frac{n}{R}·(\hat{N}·\hat{N}) = (\overrightarrow{grad\: n})·\hat{N}\Rightarrow \frac{1}{R} = \frac{1}{n}·(\overrightarrow{grad\;n})·\hat{N} \)
Vamos a suponer que \( \overrightarrow{grad\;n} \) tiene la dirección de la vertical, por lo tanto:
    \( \displaystyle grad \; n = \frac{dn}{dz} = - 3·10^{-8}m^{-1} \)
Y está situada hacia abajo:
    \( \displaystyle \frac{1}{R} = \frac{1}{n}\times 3·10^{-8}m^{-1} \Rightarrow \frac{1}{R}\simeq 3·10^{-8} \Rightarrow R \simeq 30.000\:km \)
Para el segundo apartado sabemos que en radio de curvatura de la Tierra es aproximadamente 60.000 km., y puesto que \( n\simeq 1 \), tendremos:
    \( \displaystyle \frac{1}{R} = \left| \frac{dn}{dz}\right|\simeq 6·10^{-8} \)
Que nos da el gradiente necesario para que las vuelva al punto de partida.
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Página publicada por: José Antonio Hervás