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PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
MÉTODOS NUMÉRICOS

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Obtener la ecuación diferencial de la congruencia de rayos en un medio cuyo índice tiene simetría esférica. Integrar esta ecuación cuando el índice vale:
    \( \displaystyle n = \frac{1}{r} \)
Respuesta del ejercicio 51

La ecuación diferencial de los rayos se obtiene al hacer extremal el camino óptico:
    \( \displaystyle I = \oint_1^2 n·ds \Rightarrow \quad \delta \oint_1^2 n(r)·ds = 0 \)
Cómo estamos en un medio de índice de simetria esférica utilizaremos coordenadas esféricas:
    \( ds^2 = dr^2 + (r·d\theta)^2 + (r·\sin \theta·d\varphi)^2 \)
La trayectoria se desarrolla en el plano osculador, determinado por \( \overrightarrow{grad\;n}\quad y \quad \vec{T} \). En este caso, \( \overrightarrow{grad\;n} \), tiene siempre la dirección hacia el centro y en consecuencia, región se sale del plano. Si tomamos el origen de coordenadas en el plano meridiano constante, \( \varphi\) no variará y, por tanto, \(d \varphi = 0\), con lo que resulta:
    \( \displaystyle \delta \oint_1^2 n(r) \sqrt{dr^2 + (r·d\theta)^2} = 0 \Rightarrow \delta \oint_1^2 n(r) \sqrt{1 + r^2·\theta'^2} = 0 \)
Con:
    \( \displaystyle \theta^\prime = \frac{d\theta}{dr} \)
Tenemos así una función \( f(r,\theta^\prime) \) dada por:
    \( \displaystyle f(r,\theta^\prime)= n(r) \sqrt{1 + r^2·\theta'^2} \)
Que ha de cumplir la condición de Euler-Lagrange, es decir (cálculo de variaciones):
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \theta} - \frac{d}{dr}·\frac{\partial f}{\partial \theta^\prime} = 0 \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial \theta^\prime} = Cte \)
Y esto es así por ser:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \theta} = 0\)
Ya que \( f \) no depende de \(\theta \) sino de \( \theta^\prime \).
Derivando entonces \( f \) respecto de \( \theta^\prime \), obtenemos:
    \( \displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta^\prime} = \frac{n(r)\theta^\prime·r^2}{\sqrt{1 + r^2·\theta'^2}} = C \)
Despejando de ahí el valor de \( \theta^\prime \):
    \( \displaystyle \theta^\prime = \sqrt{\frac{C^2}{n^(r)·r^4- C^2r^2}}= \frac{C}{r\sqrt{n^2·r^2 - C^2}} \)
Qué es la ecuación diferencial de la congruencia de rayos.
Para el caso en qué,
    \( \displaystyle n = \frac{1}{r} \)
Tenemos:
    \( \displaystyle \theta^\prime = \frac{C}{r\sqrt{1-C^2}}= \frac{d \theta}{dr} \Rightarrow \frac{\sqrt{1 - C^2}}{C}·d\theta = \frac{1}{r}·dr \)
Integrando:
    \( \ln r = K·\theta + \ln b \Rightarrow r = b·e^{K\theta}\)
Qué es el resultado final.
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Página publicada por: José Antonio Hervás