Problemas resueltos de Métodos Matemáticos
Si la forma cuadrática \( \phi(x) \) viene dada en la base
canónica por la matriz A:
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1& 1 \\ 1 & 1
& 1& 1 \\ 1 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 &
0 & 7\end{pmatrix}\)
Obtener la matriz D que proporciona la congruencia, es decir,
una matriz tal que se cumpla la ecuación:
¿En que base, la forma cuadrática viene dada por
la matriz D?
Respuesta del ejercicio 50
En general, conociendo la matriz asociada a la forma cuadrática
\( \phi \), esta viene dada por la ecuación:
\(\phi (x) = \displaystyle \sum_1^n w_{}x_i^2 + 2 \sum_{i=j}^n
w_{ij}x_ix_j \)
Por lo tanto, en nuestro caso, tendremos:
\( \begin{array}{l} \phi (x) = x_1^2 + x_2^2 + 3x_3^2 + 7x_4^2
+ 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + \\ \\ + 2x_1x_4 + 2x_2x_3 + 2x_2x_4
\end{array} \)
Para encontrar la matriz D que proporciona la congruencia,
tenemos que descomponer la forma cuadrática. Lo hacemos
por el método de Gauss:
\( \displaystyle \begin{array}{l} \phi(x) = x_1^2 + 2x_1(x_2
+ x_3 + x_4) + (x_2 + x_3 + x_4)^2 -\\ \\- (x_2 + x_3 + x_4)^2
+ x_2^2 + 3x_3^2 + 7x_4^2 + 2x_2x_3 + 2x_2x_4 =\\ \\= \left[x_1
+ \left(x_2 + x_3 + x_4\right)\right] 2x_3^2 + 6x_4^2 - 2x_3x_4
= f_1^2 +\\ \\+ 2\left(x_3^2 + 3x_4^2 - x_3x_4\right) = f_1^2
+ 2\left(x_3^2 + \frac{1}{4}x_4^2 + \frac{11}{4}x_4^2 \right)
=\\ \\= f_1^2 + 2f_2^2 + \frac{11}{4}x_4^2\end{array} \)
De ese modo, las formas lineales independientes que hemos obtenido
son:
\( \displaystyle f_1 = x_1+x_2+x_3+x_4 \quad ; \quad f_2 = x_3
- \frac{1}{2}x_4 \quad ; \quad f_3 = x_4\)
Por todo ello, la matriz D buscada tendrá la forma:
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &
2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 11/2 & 0 \\ 0 &
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Para calcular la matriz P de paso, podemos considerar las formas
lineales independientes:
\( \displaystyle f_1 = x_1+x_2+x_3+x_4 \; ; \; f_2 = x_3 - \frac{1}{2}x_4
\; ; \; f_3 = x_4 \; ; \; f_4 = x_1\)
y calcular una base de vectores conjugados dos a dos:
\( \displaystyle \begin{array}{l} f_1(e_1) = 1 \; ; \; f_2(e_1)
= 0 \; ; \; f_3(e_1) = 0 \; ; \; f_4(e_1) = 0 \Rightarrow\\
\Rightarrow e_1 = (0, 1, 0, 0)\\ \\ f_1(e_2) = 0 \; ; \; f_2(e_2)
= 1 \; ; \; f_3(e_2) = 0 \; ; \; f_4(e_2) = 0 \Rightarrow\\
\Rightarrow e_2 = (0, 0, 2, -1) \\ \\ f_1(e_3) = 0 \; ; \; f_2(e_3)
= 0 \; ; \; f_3(e_3) = 1 \; ; \; f_4(e_3) = 0 \Rightarrow\\
\Rightarrow e_3 = (0, -3/2, 1/2, 1) \\ \\ f_1(e_4) = 0 \; ;
\; f_2(e_4) = 0 \; ; \; f_3(e_4) = 0 \; ; \; f_4(e_4) = 1 \Rightarrow\\
\Rightarrow e_4 = (1, -1, 0, 0)\end{array} \)
Y colocando en columna estos vectores, tendremos la matriz
P buscada que verifica: