Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Sea la forma cuadrática definida en la base canónica sobre R³ por la siguiente relación:

\(\phi (x) = x_1x_2 + x_2x_3\)

Descomponer por el método de Gauss la forma cuadrática dada y obtener una base de vectores conjugados dos a dos.

Respuesta del ejercicio 49

Podemos transformar la ecuación dada como sigue:

\(\phi (x) = x_1x_2 + x_2x_3 = x_2(x_1 + x_3)\)

Y haciendo el cambio:

\(x_2 = g_1 + g_2 \; ; \; x_1 + x_3 = g_1 - g_2 \)

Con lo que resulta:

\(g_1 = \displaystyle \frac{1}{2}(x_1+x_2+x_3) \; ; \; g_2 = \frac{1}{2}(x_2-x_1-x_3)\)

Y podemos obtener

\( \displaystyle \begin{array}{l} \phi (x) = (g_1 + g_2)(g_1 - g_2) = g_1^2 - g_2^2 = \\  \\ = \frac{1}{4}(x_1+x_2+x_3)^2 - \frac{1}{4}(x_2-x_1-x_3)^2 \end{array}\)

Con lo que las formas lineales que hemos de considerar son:

\( f_1 = x_1+x_2+x_3 \quad ; \quad f_2 = -x_1+x_2-x_3 \quad ; \quad f_3 = x_3\)

Para calcular una base de vectores conjugados dos a dos hacemos como en el ejercicio anterior con lo que obtenemos los vectores:

\(e_1 = (1/2, 1/2, 0) \; ; \; e_2 = (-1/2, 1/2, 0) \; ; \; e_3 = (-1, 0, 1) \)

La matriz de esta forma cuadrática es:

\( M(\phi, B) = \begin{pmatrix} 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & -1/4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Y se cumple:

\( r(\phi) = 2 \neq dim \; R^3 \qquad ; \qquad Sig(\phi) = (1, 1) \)

Por lo que la forma cuadrática es degenerada y no definida ni positiva