Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Calcular los valores propios y una base de vectores propios para la siguiente matriz

\(\left( \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4 \\ \end{array} \right) \)

Respuesta del ejercicio 30

Formamos el polinomio característico de la matriz:

\( |A - \lambda I| = \left| \begin{array}{ccc} 1-\lambda & -3 & 3 \\ 3 & -5-\lambda & 3 \\ 6 & -6 & 4-\lambda \\ \end{array} \right| \)

Y desarrollando el determinante:

\(-(1- \lambda)(5+\lambda)(4-\lambda)-108+18(5+\lambda)+ 18(1-\lambda)+ 9(4-\lambda) = 0 \)

Agrupando términos llegamos a la ecuación:

\(\lambda^3 - 12·\lambda - 16 = 0 \)

Ensayamos como raíces los divisores del término independiente. Aplicamos la regla de Rufini para el valor 4

\( \begin{array}{c} \\ 4 \\ \end{array} \left\lfloor \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -12 & -16 \\ & 4 & 16 & 16 \\ \;1 & 4 & 4 & 0 \end{array} \right. \)

Y de ese modo nos queda:

\(\lambda^2 - 4·\lambda + 4 = 0 \)

Con lo que los valores propios de la matriz son:

\(\lambda^3 - 12·\lambda + 16 = 0\Rightarrow \lambda_1 = 4 \,; \, \lambda_2 = \lambda_3 = -2 \)

Para obtener una base de los subespacios propios, hacemos:

\( \left( \begin{array}{ccc} -3 & -3 & 3 \\ 3 & -9 & 3 \\ 6 & -6 & 0 \\ \end{array} \right)\Rightarrow \left| \begin{array}{ccc} -3 & -3 & 3 \\ 3 & -9 & 3 \\ 6 & -6 & 0 \\ \end{array} \right| = 0 \)

Resulta fácil comprobar que el rango de la matriz es 2, por lo que existirán dos ecuaciones linealmente independientes:

\(\begin{array}{c} -3x - 3y + 3z = 0 \\ 3x - 9y + 3z = 0 \end{array}\left| \begin{array}{c} x+y = z \\ x-3y = -z \\ \end{array} \right|\begin{array}{c} x = y \\ z = 2y \end{array} \)

Tenemos así que el espacio vectorial asociado al autovalor 4 es de dimensión 1, siendo una base de dicho espacio vectorial el vector (1, 1, 2).

Para encontrar una base del subespacio vectorial asociado al autovalor -2, tenemos:

\( \left( \begin{array}{ccc} 3 & -3 & 3 \\ 3 & -3 & 3 \\ 6 & -6 & 6 \\ \end{array} \right) \)

Podemos ver fácilmente que el rango de la matriz asociada al autovalor -2 es 1; por consiguiente, solo hay una ecuación linealmente independiente:

\(3x - 3y + 3z = 0 \Rightarrow x - y + z = 0 \Rightarrow x = y-z \left\{ \begin{array}{c} z=1 \\ y=1 \\ x=0 \\ \end{array} \right. \; \left\{ \begin{array}{c} z=0 \\ y=1 \\ x=1 \\ \end{array} \right. \)

En estas condiciones, el espacio vectorial V(-2) es de dimensión 2 y una de sus bases es la formada por los vectores (0, 1, 1) y (1, 1, 0).