Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Se hace un disparo con cada uno de tres cañones, siendo la probabilidad de hacer blanco 0,1 ; 0,2 y 0,3, respectivamente. Calcúlese la probabilidad de cada uno de los números posibles de blancos.

Respuesta del ejercicio 17

Los números posibles de blancos son:

a) 3 si se hace blanco con cada uno de los cañones
b) 2 si se falla en un disparo
c) 1 si se fallan en dos disparos
d) 0 si se fallan los tres disparos

En el caso (a), la probabilidad de acertar en todos los disparos vendrá dada como el producto de las probabilidades independientes de acertar cada disparo, es decir:

P(ABC) = P(A)•P(B)•P(C) = (0,1) x (0,2) x (0,3) = 0,006

En el caso tercero tenemos varias posibilidades:

1ª) Probabilidad de acertar A y fallar B y C:

P(A)•P(B’)•P(C’) = P(A)•[1 – P(B)]•[1 – P(C)] = (0,1) x (0,8) x (0,7) = 0,056

2ª) Probabilidad de acertar B y fallar A y C:

P(A’)•P(B)•P(C’) = [1 - P(A)]•P(B)•[1 – P(C)] = (0,9) x (0,2) x (0,7) = 0,126

3ª) Probabilidad de acertar C y fallar A y B:

P(A’)•P(B’)•P(C) = [1 - P(A)]•[1 - P(B)]•P(C) = (0,9) x (0,8) x (0,3) = 0,216

Así pues, la probabilidad total de fallar dos disparos será:

0,056 + 0,0126 + 0,216 = 0,392

Puesto que cada disparo es independiente de los otros dos, la probabilidad de fallar en todos vendrá dada por el producto de las probabilidades respectivas de fallo, es decir:

P(A’B’C’) = P(A’)•P(B’)•P(C’) = [1 - P(A)]•[1 – P(B)]•[1 – P(C)] = (0,9) x (0,8) x (0,7) = 0,504

Finalmente, para el segundo caso tenemos:

1ª) Probabilidad de acertar A y B fallando C:

P(A)•P(B)•P(C’) = P(A)•P(B)•[1 – P(C)] = (0,1) x (0,2) x (0,7) = 0,016

2ª) Probabilidad de acertar A y C fallando B:

P(A)•P(B’)•P(C) = P(A)•[1 - P(B)]•P(C) = (0,1) x (0,8) x (0,3) = 0,024

3ª) Probabilidad de acertar B y C fallando A:

P(A’)•P(B)•P(C) = [1 - P(A)]•P(B)]•P(C) = (0,9) x (0,2) x (0,3) = 0,054

En consecuencia, la probabilidad total de acertar en dos disparos será:

0,014 + 0,024 + 0,054 = 0,092