Problemas resueltos de Métodos Matemáticos
Determinar la función de correlación cruzada , \(C(\tau)\),
para las dos señales :
x(t) = exp (i.w1t) e y(t) = exp(i.w2t)
Respuesta al ajercicio 5
La función de correlación cruzada, \(C(\tau)\),
para la señal de entrada y la señal de salida se
define por :
\( \displaystyle C(\tau) = \langle y(t), x(t+\tau)\rangle =
\lim_{T\rightarrow \infty}\quad \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}y(t)·x(t+
\tau)·dt \)
Para nuestro caso se tiene :
\( \displaystyle C(\tau) = \lim_{T\rightarrow \infty}\quad \frac{1}{T}
\int_{-T/2}^{T/2}\exp(iw_2t)·\exp[iw_1(t+ \tau)]·dt = \)
\( \displaystyle = \lim_{T\rightarrow \infty}\quad \frac{1}{T}
\int_{-T/2}^{T/2}\exp(iw_1\tau)·\exp[i(w_1+ w_2)]·dt = \)
\( \displaystyle C(\tau) = \lim_{T\rightarrow \infty}\quad \left.
\frac{1}{T}\frac{\exp(iw\tau)}{i(w_1+w_2)}·\exp[i(w_1+w_2)]\right|_{T/2}^{T/2}=
\)
\( \displaystyle = \lim_{T\rightarrow \infty}\quad \frac{\sin
(w_1+w_2)·(T/2)}{(w_1+w_2)(T/2)}·\exp (iw_1 \tau) \)
Pasando al límite tenemos :
\( \displaystyle C(\tau)= \left\{ \begin{array}{l} \exp (iw_1
\tau) \quad si \; w_1 + w_2 = 0 \\ \\ \quad si \; w_1 + w_2
\neq 0 \end{array}\right. \)
puesto que sen(x)/(x) tiende a 1 , cuando x tiende a 0.