PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MÉTODOS MATEMÁTICOS
PARA
LA
FÍSICA

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Matemáticas y Poesía

Problemas resueltos

Ejercicio de matemáticas, enunciado 61

Demostrar que sí \( u\quad y\quad v \) son soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal de segundo orden, entonces:
    \( y_1 = u + v \quad ; \quad y_2 = u - v \)
Son también un conjunto fundamental de soluciones.
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 62

Mostrar que sí \( f(x,y,z) \) una función homogénea de grado n, dos veces diferenciable, se verifica:
    \( \displaystyle \left(x·\frac{\partial}{\partial x}+ y·\frac{\partial}{\partial y} + z·\frac{\partial}{\partial z}\right)^2·f(x,y,z) = n(n-1)·f(x,y,z) \)
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 63

La derivada direccional de una función u(x,y,z) en la dirección de un vector \( \vec{t} \) se expresa:
    \( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial \vec{t} } = \frac{\partial u}{\partial x }·\cos \alpha+ \frac{\partial u }{\partial y }·\cos\beta + \frac{\partial u}{\partial z}·\cos \gamma \)
Cuando la función es de dos variables, \( z = z(x,y)\), la derivada direccional se escribirá en la forma:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial \vec{t} } = \frac{\partial z}{\partial x }·\cos \alpha+ \frac{\partial z }{\partial y }·\sin\beta \)
En esas circunstancias, hallar la derivada direccional de la función:
    \( z = x^2 - x·y - 2y^2\)
En el punto P(1,2) y en la dirección qué forma con el eje OX un ángulo de 60º
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 64

Hallar la derivada de la función:
    \( z = x^3- 2·x^2y + xy^2\)
En el punto P(1,2) y en la dirección que va desde este plano al punto N de coordenadas (4,6)
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 65

Hallar la derivada direccional de la función:
    \( z = \ln \sqrt{x^2+y^2} \)
En el punto (1,1) y en la dirección de la bisectriz del primer cuadrante.
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 66

Hallar la derivada direccional de la función:
    \( u = x^2 - 3·yz + 5\)
En el punto M(1,2,-1) y en la dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes coordenados.
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 67

Hallar la derivada direccional de la función:
    \( U = x·y + y·z + z·x\)
En el punto (2,1,3) la dirección que va desde este punto al (5,5,15)
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 68

Hallar la derivada de la función:
    \( U = \ln(e^x + e^y + e^z) \)
En el punto (0,0,0) y en la dirección qué forma con los ejes los ángulos \( \alpha , \beta , \gamma \).
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 69

Comprobar que las funciones \( x , x^2\) son linealmente independiente pero que su bronsquiano vale \( W(x,x^2)= 0\) en \( x=0\). Según esto, ¿pueden ser soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden?
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 70

Comprobar que \( x,x^2 \) soluciones de la ecuación diferencial:
    \( x^2·y^{\prime\prime} - 2x·y^\prime + 2y = 0 \)
¿ reproduce este resultado lo dicho en el problema anterior?
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PROBLEMAS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS

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Página publicada por: José Antonio Hervás