PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MÉTODOS MATEMÁTICOS
PARA
LA
FÍSICA

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Matemáticas y Poesía

Problemas resueltos

Ejercicio de matemáticas, enunciado 51

Obtener la ecuación diferencial de la congruencia de rayos en un medio cuyo índice tiene simetría esférica. Integrar esta ecuación cuando el índice vale:
    \( \displaystyle n = \frac{1}{r} \)
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 52

Si el gradiente del índice del aire cerca de la superficie de la Tierra tiene de valor \( - 3·10^{-8} m^{-1} \), el índice es n = 1,0003, obtener la curvatura del haz de un láser situado en posición horizontal en las proximidades de la tierra y el gradiente necesario para que las volviera al punto de partida después de describir una trayectoria en torno a la Tierra.
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 53

Obtener la curvatura de los rayos emitidos en dirección horizontal si el gradiente de temperaturas es vertical y vale:
    \( \displaystyle \frac{dT}{dz} = - 10º\;m^{-1} \)
Obtener asimismo la desviación después de un recorrido de 1 km.
Utilice la fórmula de Gladstone: \( +(n-1)= c·\rho \), y las hipótesis simplificadoras que se considere oportunas.
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 54

Sea g(x) una función acotada. Calcular la transformada de Fourier de la función:
    \( \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}[g(x)] \)
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 55

Demostrar que se la función g(x) es de la forma:
    \( \displaystyle g(y) = \int_{-1}^1 e^{-i\pi x·y}·\theta(x)dx \)
Entonces g(x) escribe como:
    \( \displaystyle g(y) = \sum_{-\infty}^{+\infty}g(n)·\frac{\sin \pi(y-n)}{\pi(y-n)} \)
Ayuda: Desarróllese \( \theta(x) \) en serie de Fourier

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Ejercicio de matemáticas, enunciado 56

Calcular la perturbación resultante de componer las siguientes perturbaciones de la misma amplitud,A, y de fases variando en progresión aritmética de razón \( \varphi \):
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \sum = A·\sin(w·t + \alpha) + A·\sin(w·t + \alpha + \varphi) + ... \\
     \\
    ... + A·\sin(w·t + \alpha + [n-1]\varphi) \\
    
    \end{array}\)
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 57

Utilizando las dos propiedades definidoras de la función delta de Dirac:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \delta(x-x_o) = 0\quad para\; x\neq x_o \\
     \\
    \int_a^b\delta(x-x_o)dx = 1\quad \forall\; a < x_o < b \\
    
    \end{array} \)
Deducir las dos propiedades siguientes:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \delta(x-x_o) = \delta(x_o -x) \\
     \\
    f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x^\prime)·\delta(x^\prime - x)dx^\prime \\
    
    \end{array} \)
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 58

Resolver la ecuación diferencial:
    \( \displaystyle y^{\prime\prime} - 2·y^{\prime}= 12·x - 10 \)
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 59

Resolver la ecuación diferencial:
    \( y^{\prime\prime} + 4·y = 4·\cos 2·x + 6·\cos x + 8·x^2 - 4·x \)
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 60

Demostrar que sí \( \alpha_1(x)\quad y \quad\alpha_2(x) \) son vectores propios de \( \hat{A} \) pertenecientes al mismo valor propio, toda combinación lineal:
    \( c_1·\alpha_1(x) + c_2·\alpha_2(x) \)
Los vectores es también un vector propio de \( \hat{A} \) perteneciente a este valor propio.
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PROBLEMAS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS

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Página publicada por: José Antonio Hervás