Ejercicios de Mecánica cuántica

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

\( \hat{H}·\varphi(q) = E·\varphi(q) \)

Se deduce a partir de la ecuación de Schrödinger general:

\( \displaystyle \hat{H}·\varphi(q,t) = i\hbar·\frac{\partial \psi(q,t)}{\partial t} \)

Al hacer una separación de variables entre las variables espaciales y el tiempo. Decir, buscando soluciones del tipo:

\( \psi(q,t) = \varphi(q)·T(t) \)

Sin embargo, qué método para resolver la ecuación general no es válido en todo. Para utilizarlo debemos hacer una cierta suposición que no se cumple para cualquier sistema ¿ cuál es esa suposición? Explicar.

Respuesta del ejercicio 68

Las soluciones de esta forma existen siempre que la energía potencial no depende explícitamente del tiempo, es decir, funciones V(q).
La explicación la hacemos por reducción al absurdo, suponiendo funciones del tipo V(q,t). Consideremos:

\( \displaystyle H = \frac{p^2}{2m} + V(q,t) \)

Siendo en operación a hamiltoniano:

\( \displaystyle \hat{H} = - \frac{\hbar^2\nabla^2}{2m} + V(q,t) = \hat{H}(q,t) \)

Sea entonces una función de onda de variables separables:

\( \psi(q,t) = \varphi(q)·T(t) \)

Aplicando la ecuación de Schrödinger tenemos:

\( \displaystyle \hat{H}·\psi(q,t) = [\hat{H}·\varphi(q)]T(t) + \varphi(q)·[\hat{H}·T(t)] = i\hbar·\varphi(q)·\frac{dT}{dt} \)

Multiplicando ambos miembros por \( 1/T·\varphi \) obtenemos:

\( \displaystyle \frac{\hat{H}·\varphi(q)}{\varphi(q)} = \frac{i\hbar·[\partial T(t)/\partial t]}{T(t)} \neq Cte \)

Y puesto que el operador \( \hat{H} \) va a depender de q y t, no podremos llegar a la ecuación independiente del tiempo.