Ejercicios de Física Cuántica
Utilizando la ecuación:
\(\displaystyle\langle\hat{A}\rangle_t = \int_{-\infty}^{+\infty}\psi_t^*
(x)\left[\hat{A}\psi_t(x)\right]dx \)
demostrar que las esperanzas de la posición y de la cantidad
de movimiento, en el estado ψ(x, t) se pueden calcular a partir
de:
\(\displaystyle\langle\hat{X}\rangle_t = \int_{-\infty}^{+\infty}x
|\psi(x)|^2dx \; ; \; \langle\hat{P}\rangle_t = \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*(x,t)\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial
x}dx \)
Respuesta del ejercicio20
Aplicando la ecuación del enunciado al operador posición,
tenemos:
\(\displaystyle \left\langle\hat{X}\right\rangle_t = \int_{-\infty}^\infty\phi_t^*(x)\left[\hat{X}\psi_t(x)\right]dx=
\int_{-\infty}^\infty\phi_t^*(x)\cdot x \cdot\psi_t(x)dx \)
\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty x\phi_t^*(x)\psi_t(x)dx
= \int_{-\infty}^\infty x\left|\psi_t(x)\right|^2 = \int_{-\infty}^\infty
x\left|\psi(x,t)\right|^2dx \)
y haciendo análogamente para el operador cantidad de movimiento:
\(\displaystyle\begin{array}{l}
\left\langle\hat{P}\right\rangle_t = \int_{-\infty}^\infty\phi_t^*(x)\left[\hat{P}\psi_t(x)\right]dx=
\\
\\
= \int_{-\infty}^\infty\phi_t^*(x)\left[- \imath\hbar\frac{d}{dx}\psi_t\right](x)dx
=
\end{array} \)
y como en este caso la derivada respecto a x es una derivada parcial,
tendremos finalmente:
\(\displaystyle\left\langle\hat{P}\right\rangle_t = - \imath\hbar\int_{-\infty}^\infty\psi^*
(x,t) \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial x}dx \)