Ejercicios de Mecánica cuántica
Utilizando el desarrollo en serie de potencias ya conocido de
f(Â), probar directamente que  y f(Â) conmutan.
Utilizando el hecho de  y f(Â) tienen la misma base propiaαi(x)
, probar directa mente que  y f(Â) son compatibles.
Respuesta del ejercicio 7
Se dice que dos operadores  y Ê conmutan si se verifica :
\((\hat{A}\hat{E}- \hat{E}\hat{A})\psi(x) = 0 \)
para cualquier vector .
En el caso de los operadores  y f(Â) , donde
\( \displaystyle f(\hat{A})=\sum_{n=0}^\infty c_n\hat{A}^n \)
tenemos :
\(\displaystyle\left(\hat{A}f(\hat{A})- f(\hat{A})\hat{A}\right)\psi(x)
= \left(\hat{A}\sum_{n=0}^\infty c_n\hat{A}^n-\sum_{n=0}^\infty
c_n\hat{A}^n \hat{A}\right)\psi(x) = \)
\(\displaystyle =\left(\sum_{n=0}^\infty c_n\hat{A}^{n+1}-\sum_{n=0}^\infty
c_n\hat{A}^{n+1}\right)\psi(x) = 0·\psi(x)= 0 \)
Y los operadores  y f(Â) conmutan.
Según el teorema de compatibilidad, dos operadores son compatibles
si conmutan. Puesto que  y f(Â) tienen la misma base propia,
podemos escribir :
\(\displaystyle\hat{A}\left\{\alpha_k(x)\right\} = A_k\alpha_k(x)\;
;\; f(\hat{A})\left\{\alpha_k(x)\right\} = f(A_k)\alpha_k(x)
\)
y tenemos :
\( \displaystyle \begin{array}{l} \left(\hat{A}f(\hat{A})\right)\psi(x)
= \hat{A}f(\hat{A})\left[\sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t)\alpha_k(x)\right]
= \\ \\ \hat{A}\left[\sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t)f(\hat{A})\{\alpha_k(x)\}\right]
=\hat{A}\left[\sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t)f(A_k)\{\alpha_k(x)\}\right]
= \\ \\ = \sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t)f(A_k)\hat{A}\{\alpha_k(x)\}
= \sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t) f(A_k)A_k \alpha_k(x)=
\\ \\ = \sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t)A_k f(A_k) \alpha_k(x)
= f(\hat{A})\sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t)A_k \alpha_k(x)
= \\ \\ = f(\hat{A}) \hat{A}\sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t)
\alpha_k(x) = f(\hat{A})\hat{A}\{\alpha_k(x)\} \end{array} \)
y puesto que los operadores considerados conmutan, los observables
serán compatibles.